MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expadd Unicode version

Theorem expadd 12208
Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
expadd

Proof of Theorem expadd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . 7
21oveq2d 6312 . . . . . 6
3 oveq2 6304 . . . . . . 7
43oveq2d 6312 . . . . . 6
52, 4eqeq12d 2479 . . . . 5
65imbi2d 316 . . . 4
7 oveq2 6304 . . . . . . 7
87oveq2d 6312 . . . . . 6
9 oveq2 6304 . . . . . . 7
109oveq2d 6312 . . . . . 6
118, 10eqeq12d 2479 . . . . 5
1211imbi2d 316 . . . 4
13 oveq2 6304 . . . . . . 7
1413oveq2d 6312 . . . . . 6
15 oveq2 6304 . . . . . . 7
1615oveq2d 6312 . . . . . 6
1714, 16eqeq12d 2479 . . . . 5
1817imbi2d 316 . . . 4
19 oveq2 6304 . . . . . . 7
2019oveq2d 6312 . . . . . 6
21 oveq2 6304 . . . . . . 7
2221oveq2d 6312 . . . . . 6
2320, 22eqeq12d 2479 . . . . 5
2423imbi2d 316 . . . 4
25 nn0cn 10830 . . . . . . . . 9
2625addid1d 9801 . . . . . . . 8
2726adantl 466 . . . . . . 7
2827oveq2d 6312 . . . . . 6
29 expcl 12184 . . . . . . 7
3029mulid1d 9634 . . . . . 6
3128, 30eqtr4d 2501 . . . . 5
32 exp0 12170 . . . . . . 7
3332adantr 465 . . . . . 6
3433oveq2d 6312 . . . . 5
3531, 34eqtr4d 2501 . . . 4
36 oveq1 6303 . . . . . . 7
37 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . 12
38 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
39 addass 9600 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . 12
4125, 37, 40syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
4241adantll 713 . . . . . . . . . 10
4342oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
44 simpll 753 . . . . . . . . . 10
45 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . 11
4645adantll 713 . . . . . . . . . 10
47 expp1 12173 . . . . . . . . . 10
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4943, 48eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
50 expp1 12173 . . . . . . . . . . 11
5150adantlr 714 . . . . . . . . . 10
5251oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
5329adantr 465 . . . . . . . . . 10
54 expcl 12184 . . . . . . . . . . 11
5554adantlr 714 . . . . . . . . . 10
5653, 55, 44mulassd 9640 . . . . . . . . 9
5752, 56eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
5849, 57eqeq12d 2479 . . . . . . 7
5936, 58syl5ibr 221 . . . . . 6
6059expcom 435 . . . . 5
6160a2d 26 . . . 4
626, 12, 18, 24, 35, 61nn0ind 10984 . . 3
6362expdcom 439 . 2
64633imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12209  expaddz  12210  expmul  12211  i4  12270  expaddd  12312  faclbnd4lem1  12371  ef01bndlem  13919  modxai  14554  numexp2x  14565  expmhm  18485  quart1lem  23186  log2ublem2  23278  bposlem8  23566  fallrisefac  29147  fsumcube  29822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator