Theorem expaddz 12210

Description: Sum of exponents law for integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expaddz

Proof of Theorem expaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 10903	. . 3
2		elznn0nn 10903	. . . 4
3		expadd 12208	. . . . . . . 8
4	3	3expia 1198	. . . . . . 7
5	4	adantlr 714	. . . . . 6
6		expaddzlem 12209	. . . . . . 7
7	6	3expia 1198	. . . . . 6
8	5, 7	jaodan 785	. . . . 5
9		expaddzlem 12209	. . . . . . . . 9
10		simp3 998	. . . . . . . . . . . 12
11	10	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . 11
12		simp2l 1022	. . . . . . . . . . . 12
13	12	recnd 9643	. . . . . . . . . . 11
14	11, 13	addcomd 9803	. . . . . . . . . 10
15	14	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
16		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11
17		expcl 12184	. . . . . . . . . . 11
18	16, 10, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
19		simp1r 1021	. . . . . . . . . . 11
20	13	negnegd 9945	. . . . . . . . . . . 12
21		simp2r 1023	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	nnnn0d 10877	. . . . . . . . . . . . 13
23		nn0negz 10927	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
25	20, 24	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . 11
26		expclz 12191	. . . . . . . . . . 11
27	16, 19, 25, 26	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
28	18, 27	mulcomd 9638	. . . . . . . . 9
29	9, 15, 28	3eqtr4d 2508	. . . . . . . 8
30	29	3expia 1198	. . . . . . 7
31	30	impancom 440	. . . . . 6
32		simp2l 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . . 14
34		simp3l 1024	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . . 14
36	33, 35	negdid 9967	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
38		simp1l 1020	. . . . . . . . . . . . 13
39		simp2r 1023	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	nnnn0d 10877	. . . . . . . . . . . . 13
41		simp3r 1025	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	nnnn0d 10877	. . . . . . . . . . . . 13
43		expadd 12208	. . . . . . . . . . . . 13
44	38, 40, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
45	37, 44	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11
46	45	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
47		1t1e1 10708	. . . . . . . . . . 11
48	47	oveq1i 6306	. . . . . . . . . 10
49	46, 48	syl6eqr 2516	. . . . . . . . 9
50		expcl 12184	. . . . . . . . . . 11
51	38, 40, 50	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
52		simp1r 1021	. . . . . . . . . . 11
53	40	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . 11
54		expne0i 12198	. . . . . . . . . . 11
55	38, 52, 53, 54	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
56		expcl 12184	. . . . . . . . . . 11
57	38, 42, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
58	42	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . 11
59		expne0i 12198	. . . . . . . . . . 11
60	38, 52, 58, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
61		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . 11
62		divmuldiv 10269	. . . . . . . . . . 11
63	61, 61, 62	mpanl12 682	. . . . . . . . . 10
64	51, 55, 57, 60, 63	syl22anc 1229	. . . . . . . . 9
65	49, 64	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8
66	33, 35	addcld 9636	. . . . . . . . 9
67	40, 42	nn0addcld 10881	. . . . . . . . . 10
68	36, 67	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
69		expneg2 12175	. . . . . . . . 9
70	38, 66, 68, 69	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
71		expneg2 12175	. . . . . . . . . 10
72	38, 33, 40, 71	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
73		expneg2 12175	. . . . . . . . . 10
74	38, 35, 42, 73	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
75	72, 74	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
76	65, 70, 75	3eqtr4d 2508	. . . . . . 7
77	76	3expia 1198	. . . . . 6
78	31, 77	jaodan 785	. . . . 5
79	8, 78	jaod 380	. . . 4
80	2, 79	sylan2b 475	. . 3
81	1, 80	syl5bi 217	. 2
82	81	impr 619	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cexp 12166

This theorem is referenced by:  expsub  12213  expp1z  12214  iseraltlem2  13505  iseraltlem3  13506  pcaddlem  14407  m1expaddsub  16523  expghm  18529  expghmOLD  18530  aaliou3lem2  22739  aaliou3lem6  22744  dchrptlem1  23539  dchrptlem2  23540  lgseisenlem4  23627  lgsquadlem1  23629  lgsquad2lem1  23633  padicabv  23815  m1expevenALT  28663  pellfund14  30834  rmxyadd  30857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167