MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expaddzlem Unicode version

Theorem expaddzlem 12209
Description: Lemma for expaddz 12210. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expaddzlem

Proof of Theorem expaddzlem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1020 . . . 4
2 simp3 998 . . . 4
3 expcl 12184 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3
5 simp2r 1023 . . . . 5
65nnnn0d 10877 . . . 4
7 expcl 12184 . . . 4
81, 6, 7syl2anc 661 . . 3
9 simp1r 1021 . . . 4
105nnzd 10993 . . . 4
11 expne0i 12198 . . . 4
121, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . 3
134, 8, 12divrec2d 10349 . 2
14 simp2l 1022 . . . . . . . . . . 11
1514recnd 9643 . . . . . . . . . 10
1615negnegd 9945 . . . . . . . . 9
17 nnnegz 10892 . . . . . . . . . 10
185, 17syl 16 . . . . . . . . 9
1916, 18eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
202nn0zd 10992 . . . . . . . 8
2119, 20zaddcld 10998 . . . . . . 7
22 expclz 12191 . . . . . . 7
231, 9, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . 6
2423adantr 465 . . . . 5
258adantr 465 . . . . 5
2612adantr 465 . . . . 5
2724, 25, 26divcan4d 10351 . . . 4
281adantr 465 . . . . . . 7
29 simpr 461 . . . . . . 7
306adantr 465 . . . . . . 7
31 expadd 12208 . . . . . . 7
3228, 29, 30, 31syl3anc 1228 . . . . . 6
3321zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
3433, 15negsubd 9960 . . . . . . . . 9
352nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
3615, 35pncan2d 9956 . . . . . . . . 9
3734, 36eqtrd 2498 . . . . . . . 8
3837adantr 465 . . . . . . 7
3938oveq2d 6312 . . . . . 6
4032, 39eqtr3d 2500 . . . . 5
4140oveq1d 6311 . . . 4
4227, 41eqtr3d 2500 . . 3
431adantr 465 . . . . 5
4433adantr 465 . . . . 5
45 simpr 461 . . . . 5
46 expneg2 12175 . . . . 5
4743, 44, 45, 46syl3anc 1228 . . . 4
4821znegcld 10996 . . . . . . . . . 10
49 expclz 12191 . . . . . . . . . 10
501, 9, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
5150adantr 465 . . . . . . . 8
524adantr 465 . . . . . . . 8
53 expne0i 12198 . . . . . . . . . 10
541, 9, 20, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
5554adantr 465 . . . . . . . 8
5651, 52, 55divcan4d 10351 . . . . . . 7
572adantr 465 . . . . . . . . . 10
58 expadd 12208 . . . . . . . . . 10
5943, 45, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
6015, 35negdi2d 9968 . . . . . . . . . . . . 13
6160oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
6215negcld 9941 . . . . . . . . . . . . 13
6362, 35npcand 9958 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10
6665oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
6759, 66eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
6867oveq1d 6311 . . . . . . 7
6956, 68eqtr3d 2500 . . . . . 6
7069oveq2d 6312 . . . . 5
718, 4, 12, 54recdivd 10362 . . . . . 6
7271adantr 465 . . . . 5
7370, 72eqtrd 2498 . . . 4
7447, 73eqtrd 2498 . . 3
75 elznn0 10904 . . . . 5
7675simprbi 464 . . . 4
7721, 76syl 16 . . 3
7842, 74, 77mpjaodan 786 . 2
79 expneg2 12175 . . . 4
801, 15, 6, 79syl3anc 1228 . . 3
8180oveq1d 6311 . 2
8213, 78, 813eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expaddz  12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator