Theorem expaddzlem 12209

Description: Lemma for expaddz 12210. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expaddzlem

Proof of Theorem expaddzlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1020	. . . 4
2		simp3 998	. . . 4
3		expcl 12184	. . . 4
4	1, 2, 3	syl2anc 661	. . 3
5		simp2r 1023	. . . . 5
6	5	nnnn0d 10877	. . . 4
7		expcl 12184	. . . 4
8	1, 6, 7	syl2anc 661	. . 3
9		simp1r 1021	. . . 4
10	5	nnzd 10993	. . . 4
11		expne0i 12198	. . . 4
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1228	. . 3
13	4, 8, 12	divrec2d 10349	. 2
14		simp2l 1022	. . . . . . . . . . 11
15	14	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
16	15	negnegd 9945	. . . . . . . . 9
17		nnnegz 10892	. . . . . . . . . 10
18	5, 17	syl 16	. . . . . . . . 9
19	16, 18	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8
20	2	nn0zd 10992	. . . . . . . 8
21	19, 20	zaddcld 10998	. . . . . . 7
22		expclz 12191	. . . . . . 7
23	1, 9, 21, 22	syl3anc 1228	. . . . . 6
24	23	adantr 465	. . . . 5
25	8	adantr 465	. . . . 5
26	12	adantr 465	. . . . 5
27	24, 25, 26	divcan4d 10351	. . . 4
28	1	adantr 465	. . . . . . 7
29		simpr 461	. . . . . . 7
30	6	adantr 465	. . . . . . 7
31		expadd 12208	. . . . . . 7
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1228	. . . . . 6
33	21	zcnd 10995	. . . . . . . . . 10
34	33, 15	negsubd 9960	. . . . . . . . 9
35	2	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . 10
36	15, 35	pncan2d 9956	. . . . . . . . 9
37	34, 36	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
38	37	adantr 465	. . . . . . 7
39	38	oveq2d 6312	. . . . . 6
40	32, 39	eqtr3d 2500	. . . . 5
41	40	oveq1d 6311	. . . 4
42	27, 41	eqtr3d 2500	. . 3
43	1	adantr 465	. . . . 5
44	33	adantr 465	. . . . 5
45		simpr 461	. . . . 5
46		expneg2 12175	. . . . 5
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1228	. . . 4
48	21	znegcld 10996	. . . . . . . . . 10
49		expclz 12191	. . . . . . . . . 10
50	1, 9, 48, 49	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
51	50	adantr 465	. . . . . . . 8
52	4	adantr 465	. . . . . . . 8
53		expne0i 12198	. . . . . . . . . 10
54	1, 9, 20, 53	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
55	54	adantr 465	. . . . . . . 8
56	51, 52, 55	divcan4d 10351	. . . . . . 7
57	2	adantr 465	. . . . . . . . . 10
58		expadd 12208	. . . . . . . . . 10
59	43, 45, 57, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
60	15, 35	negdi2d 9968	. . . . . . . . . . . . 13
61	60	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12
62	15	negcld 9941	. . . . . . . . . . . . 13
63	62, 35	npcand 9958	. . . . . . . . . . . 12
64	61, 63	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . 10
66	65	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
67	59, 66	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
68	67	oveq1d 6311	. . . . . . 7
69	56, 68	eqtr3d 2500	. . . . . 6
70	69	oveq2d 6312	. . . . 5
71	8, 4, 12, 54	recdivd 10362	. . . . . 6
72	71	adantr 465	. . . . 5
73	70, 72	eqtrd 2498	. . . 4
74	47, 73	eqtrd 2498	. . 3
75		elznn0 10904	. . . . 5
76	75	simprbi 464	. . . 4
77	21, 76	syl 16	. . 3
78	42, 74, 77	mpjaodan 786	. 2
79		expneg2 12175	. . . 4
80	1, 15, 6, 79	syl3anc 1228	. . 3
81	80	oveq1d 6311	. 2
82	13, 78, 81	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cexp 12166

This theorem is referenced by:  expaddz  12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167