MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Unicode version

Theorem expcl 12184
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl

Proof of Theorem expcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3522 . 2
2 mulcl 9597 . 2
3 ax-1cn 9571 . 2
41, 2, 3expcllem 12177 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expeq0  12196  expnegz  12200  mulexp  12205  mulexpz  12206  expadd  12208  expaddzlem  12209  expaddz  12210  expmul  12211  expmulz  12212  expdiv  12216  binom3  12287  digit2  12299  digit1  12300  expcld  12310  faclbnd2  12369  faclbnd4lem4  12374  faclbnd6  12377  cjexp  12983  absexp  13137  ackbijnn  13640  binomlem  13641  binom1p  13643  binom1dif  13645  expcnv  13675  geolim  13679  geolim2  13680  geo2sum  13682  geomulcvg  13685  geoisum  13686  geoisumr  13687  geoisum1  13688  geoisum1c  13689  0.999...  13690  eftcl  13809  eftabs  13811  efcllem  13813  efcj  13827  efaddlem  13828  eflegeo  13856  efi4p  13872  prmreclem6  14439  decsplit  14569  karatsuba  14570  expmhm  18485  mbfi1fseqlem6  22127  itg0  22186  itgz  22187  itgcl  22190  itgcnlem  22196  itgsplit  22242  dvexp  22356  dvexp3  22379  plyf  22595  ply1termlem  22600  plypow  22602  plyeq0lem  22607  plypf1  22609  plyaddlem1  22610  plymullem1  22611  coeeulem  22621  coeidlem  22634  coeid3  22637  plyco  22638  dgrcolem2  22671  plycjlem  22673  plyrecj  22676  vieta1  22708  elqaalem3  22717  aareccl  22722  aalioulem1  22728  geolim3  22735  psergf  22807  dvradcnv  22816  psercn2  22818  pserdvlem2  22823  pserdv2  22825  abelthlem4  22829  abelthlem5  22830  abelthlem6  22831  abelthlem7  22833  abelthlem9  22835  advlogexp  23036  logtayllem  23040  logtayl  23041  logtaylsum  23042  logtayl2  23043  cxpeq  23131  dcubic1lem  23174  dcubic2  23175  dcubic1  23176  dcubic  23177  mcubic  23178  cubic2  23179  cubic  23180  binom4  23181  dquartlem2  23183  dquart  23184  quart1cl  23185  quart1lem  23186  quart1  23187  quartlem1  23188  quartlem2  23189  quart  23192  atantayl  23268  atantayl2  23269  atantayl3  23270  leibpi  23273  log2cnv  23275  log2tlbnd  23276  log2ublem3  23279  ftalem1  23346  ftalem4  23349  ftalem5  23350  basellem3  23356  musum  23467  1sgmprm  23474  perfect  23506  lgsquadlem1  23629  rplogsumlem2  23670  ostth2lem2  23819  numclwlk3lem3  25073  ipval2  25617  dipcl  25625  dipcn  25633  sspival  25651  subfacval2  28631  fallrisefac  29147  0risefac  29160  binomrisefac  29164  bpolysum  29815  bpolydiflem  29816  fsumkthpow  29818  bpoly3  29820  bpoly4  29821  fsumcube  29822  jm2.23  30938  lhe4.4ex1a  31234  altgsumbc  32941  altgsumbcALT  32942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator