MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl2lem Unicode version

Theorem expcl2lem 12178
Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1
expcllem.2
expcllem.3
expcl2lem.4
Assertion
Ref Expression
expcl2lem
Distinct variable groups:   , ,   ,   , ,

Proof of Theorem expcl2lem
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 10903 . . 3
2 expcllem.1 . . . . . . 7
3 expcllem.2 . . . . . . 7
4 expcllem.3 . . . . . . 7
52, 3, 4expcllem 12177 . . . . . 6
65ex 434 . . . . 5
76adantr 465 . . . 4
8 simpll 753 . . . . . . . 8
92, 8sseldi 3501 . . . . . . 7
10 simprl 756 . . . . . . . 8
1110recnd 9643 . . . . . . 7
12 nnnn0 10827 . . . . . . . 8
1312ad2antll 728 . . . . . . 7
14 expneg2 12175 . . . . . . 7
159, 11, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . 6
16 difss 3630 . . . . . . . 8
17 simpl 457 . . . . . . . . . 10
18 eldifsn 4155 . . . . . . . . . 10
1917, 18sylibr 212 . . . . . . . . 9
2016, 2sstri 3512 . . . . . . . . . 10
2116sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
2216sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22, 3syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
24 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . 13
252sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . 14
2625anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13
2724, 26sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
28 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . 13
292sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . 14
3029anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13
3128, 30sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
32 mulne0 10216 . . . . . . . . . . . 12
3327, 31, 32syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
34 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . 11
3523, 33, 34sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
36 ax-1ne0 9582 . . . . . . . . . . 11
37 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . 11
384, 36, 37mpbir2an 920 . . . . . . . . . 10
3920, 35, 38expcllem 12177 . . . . . . . . 9
4019, 13, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8
4116, 40sseldi 3501 . . . . . . 7
42 eldifsn 4155 . . . . . . . . 9
4340, 42sylib 196 . . . . . . . 8
4443simprd 463 . . . . . . 7
45 neeq1 2738 . . . . . . . . 9
46 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
4746eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
4845, 47imbi12d 320 . . . . . . . 8
49 expcl2lem.4 . . . . . . . . 9
5049ex 434 . . . . . . . 8
5148, 50vtoclga 3173 . . . . . . 7
5241, 44, 51sylc 60 . . . . . 6
5315, 52eqeltrd 2545 . . . . 5
5453ex 434 . . . 4
557, 54jaod 380 . . 3
561, 55syl5bi 217 . 2
57563impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  \cdif 3472  C_wss 3475  {csn 4029  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166
This theorem is referenced by:  rpexpcl  12185  reexpclz  12186  qexpclz  12187  m1expcl2  12188  expclzlem  12190  1exp  12195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator