Theorem expcl2lem 12178

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1
expcllem.2
expcllem.3
expcl2lem.4

Assertion

Ref	Expression
expcl2lem

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,

Proof of Theorem expcl2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 10903	. . 3
2		expcllem.1	. . . . . . 7
3		expcllem.2	. . . . . . 7
4		expcllem.3	. . . . . . 7
5	2, 3, 4	expcllem 12177	. . . . . 6
6	5	ex 434	. . . . 5
7	6	adantr 465	. . . 4
8		simpll 753	. . . . . . . 8
9	2, 8	sseldi 3501	. . . . . . 7
10		simprl 756	. . . . . . . 8
11	10	recnd 9643	. . . . . . 7
12		nnnn0 10827	. . . . . . . 8
13	12	ad2antll 728	. . . . . . 7
14		expneg2 12175	. . . . . . 7
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1228	. . . . . 6
16		difss 3630	. . . . . . . 8
17		simpl 457	. . . . . . . . . 10
18		eldifsn 4155	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	sylibr 212	. . . . . . . . 9
20	16, 2	sstri 3512	. . . . . . . . . 10
21	16	sseli 3499	. . . . . . . . . . . 12
22	16	sseli 3499	. . . . . . . . . . . 12
23	21, 22, 3	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
24		eldifsn 4155	. . . . . . . . . . . . 13
25	2	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . 13
27	24, 26	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12
28		eldifsn 4155	. . . . . . . . . . . . 13
29	2	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . . 14
30	29	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . 13
31	28, 30	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12
32		mulne0 10216	. . . . . . . . . . . 12
33	27, 31, 32	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
34		eldifsn 4155	. . . . . . . . . . 11
35	23, 33, 34	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10
36		ax-1ne0 9582	. . . . . . . . . . 11
37		eldifsn 4155	. . . . . . . . . . 11
38	4, 36, 37	mpbir2an 920	. . . . . . . . . 10
39	20, 35, 38	expcllem 12177	. . . . . . . . 9
40	19, 13, 39	syl2anc 661	. . . . . . . 8
41	16, 40	sseldi 3501	. . . . . . 7
42		eldifsn 4155	. . . . . . . . 9
43	40, 42	sylib 196	. . . . . . . 8
44	43	simprd 463	. . . . . . 7
45		neeq1 2738	. . . . . . . . 9
46		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
47	46	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
48	45, 47	imbi12d 320	. . . . . . . 8
49		expcl2lem.4	. . . . . . . . 9
50	49	ex 434	. . . . . . . 8
51	48, 50	vtoclga 3173	. . . . . . 7
52	41, 44, 51	sylc 60	. . . . . 6
53	15, 52	eqeltrd 2545	. . . . 5
54	53	ex 434	. . . 4
55	7, 54	jaod 380	. . 3
56	1, 55	syl5bi 217	. 2
57	56	3impia 1193	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  \cdif 3472  C_wss 3475  {csn 4029  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cexp 12166

This theorem is referenced by:  rpexpcl  12185  reexpclz  12186  qexpclz  12187  m1expcl2  12188  expclzlem  12190  1exp  12195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167