MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcllem Unicode version

Theorem expcllem 12177
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1
expcllem.2
expcllem.3
Assertion
Ref Expression
expcllem
Distinct variable groups:   , ,   ,   , ,

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 oveq2 6304 . . . . . . 7
32eleq1d 2526 . . . . . 6
43imbi2d 316 . . . . 5
5 oveq2 6304 . . . . . . 7
65eleq1d 2526 . . . . . 6
76imbi2d 316 . . . . 5
8 oveq2 6304 . . . . . . 7
98eleq1d 2526 . . . . . 6
109imbi2d 316 . . . . 5
11 oveq2 6304 . . . . . . 7
1211eleq1d 2526 . . . . . 6
1312imbi2d 316 . . . . 5
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9
1514sseli 3499 . . . . . . . 8
16 exp1 12172 . . . . . . . 8
1715, 16syl 16 . . . . . . 7
1817eleq1d 2526 . . . . . 6
1918ibir 242 . . . . 5
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12
2120caovcl 6469 . . . . . . . . . . 11
2221ancoms 453 . . . . . . . . . 10
2322adantlr 714 . . . . . . . . 9
24 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . . 12
25 expp1 12173 . . . . . . . . . . . 12
2615, 24, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
2726eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
2827adantr 465 . . . . . . . . 9
2923, 28mpbird 232 . . . . . . . 8
3029exp31 604 . . . . . . 7
3130com12 31 . . . . . 6
3231a2d 26 . . . . 5
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 10579 . . . 4
3433impcom 430 . . 3
35 oveq2 6304 . . . . 5
36 exp0 12170 . . . . . 6
3715, 36syl 16 . . . . 5
3835, 37sylan9eqr 2520 . . . 4
39 expcllem.3 . . . 4
4038, 39syl6eqel 2553 . . 3
4134, 40jaodan 785 . 2
421, 41sylan2b 475 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn 10561   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expcl2lem  12178  nnexpcl  12179  nn0expcl  12180  zexpcl  12181  qexpcl  12182  reexpcl  12183  expcl  12184  expge0  12202  expge1  12203  lgsfcl2  23577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator