MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Unicode version

Theorem expcnv 13675
Description: A sequence of powers of a complex number with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1
expcnv.2
Assertion
Ref Expression
expcnv
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11145 . . 3
2 1zzd 10920 . . 3
3 nn0ex 10826 . . . . 5
43mptex 6143 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 0cnd 9610 . . 3
7 nnnn0 10827 . . . . . 6
8 oveq2 6304 . . . . . . 7
9 eqid 2457 . . . . . . 7
10 ovex 6324 . . . . . . 7
118, 9, 10fvmpt 5956 . . . . . 6
127, 11syl 16 . . . . 5
13 simpr 461 . . . . . 6
1413oveq1d 6311 . . . . 5
1512, 14sylan9eqr 2520 . . . 4
16 0exp 12201 . . . . 5
1716adantl 466 . . . 4
1815, 17eqtrd 2498 . . 3
191, 2, 5, 6, 18climconst 13366 . 2
20 1zzd 10920 . . . 4
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10
2221adantr 465 . . . . . . . . 9
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11
24 absrpcl 13121 . . . . . . . . . . 11
2523, 24sylan 471 . . . . . . . . . 10
2625reclt1d 11298 . . . . . . . . 9
2722, 26mpbid 210 . . . . . . . 8
28 1re 9616 . . . . . . . . 9
2925rpreccld 11295 . . . . . . . . . 10
3029rpred 11285 . . . . . . . . 9
31 difrp 11282 . . . . . . . . 9
3228, 30, 31sylancr 663 . . . . . . . 8
3327, 32mpbid 210 . . . . . . 7
3433rpreccld 11295 . . . . . 6
3534rpcnd 11287 . . . . 5
36 divcnv 13665 . . . . 5
3735, 36syl 16 . . . 4
38 nnex 10567 . . . . . 6
3938mptex 6143 . . . . 5
4039a1i 11 . . . 4
41 oveq2 6304 . . . . . . 7
42 eqid 2457 . . . . . . 7
43 ovex 6324 . . . . . . 7
4441, 42, 43fvmpt 5956 . . . . . 6
4544adantl 466 . . . . 5
4634rpred 11285 . . . . . 6
47 nndivre 10596 . . . . . 6
4846, 47sylan 471 . . . . 5
4945, 48eqeltrd 2545 . . . 4
50 oveq2 6304 . . . . . . . 8
51 eqid 2457 . . . . . . . 8
52 ovex 6324 . . . . . . . 8
5350, 51, 52fvmpt 5956 . . . . . . 7
5453adantl 466 . . . . . 6
55 nnz 10911 . . . . . . 7
56 rpexpcl 12185 . . . . . . 7
5725, 55, 56syl2an 477 . . . . . 6
5854, 57eqeltrd 2545 . . . . 5
5958rpred 11285 . . . 4
60 nnrp 11258 . . . . . . . 8
61 rpmulcl 11270 . . . . . . . 8
6233, 60, 61syl2an 477 . . . . . . 7
6362rpred 11285 . . . . . . . . 9
64 peano2re 9774 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9
66 rpexpcl 12185 . . . . . . . . . . 11
6729, 55, 66syl2an 477 . . . . . . . . . 10
6867rpred 11285 . . . . . . . . 9
6963lep1d 10502 . . . . . . . . 9
7030adantr 465 . . . . . . . . . 10
717adantl 466 . . . . . . . . . 10
7229rpge0d 11289 . . . . . . . . . . 11
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10
74 bernneq2 12293 . . . . . . . . . 10
7570, 71, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
7663, 65, 68, 69, 75letrd 9760 . . . . . . . 8
7725rpcnne0d 11294 . . . . . . . . 9
78 exprec 12207 . . . . . . . . . 10
79783expa 1196 . . . . . . . . 9
8077, 55, 79syl2an 477 . . . . . . . 8
8176, 80breqtrd 4476 . . . . . . 7
8262, 57, 81lerec2d 11306 . . . . . 6
8333rpcnne0d 11294 . . . . . . 7
84 nncn 10569 . . . . . . . 8
85 nnne0 10593 . . . . . . . 8
8684, 85jca 532 . . . . . . 7
87 recdiv2 10282 . . . . . . 7
8883, 86, 87syl2an 477 . . . . . 6
8982, 88breqtrrd 4478 . . . . 5
9089, 54, 453brtr4d 4482 . . . 4
9158rpge0d 11289 . . . 4
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 13464 . . 3
93 1zzd 10920 . . . . 5
944a1i 11 . . . . 5
9539a1i 11 . . . . 5
967adantl 466 . . . . . . 7
9796, 11syl 16 . . . . . 6
98 expcl 12184 . . . . . . 7
9923, 7, 98syl2an 477 . . . . . 6
10097, 99eqeltrd 2545 . . . . 5
101 absexp 13137 . . . . . . 7
10223, 7, 101syl2an 477 . . . . . 6
10397fveq2d 5875 . . . . . 6
10453adantl 466 . . . . . 6
105102, 103, 1043eqtr4rd 2509 . . . . 5
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 13408 . . . 4
107106biimpar 485 . . 3
10892, 107syldan 470 . 2
10919, 108pm2.61dane 2775 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cexp 12166   cabs 13067   cli 13307
This theorem is referenced by:  explecnv  13676  geolim  13679  geo2lim  13684  iscmet3lem3  21729  mbfi1fseqlem6  22127  geomcau  30252  stoweidlem7  31789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator