Theorem expeq0 12196

Description: Positive integer exponentiation is 0 iff its mantissa is 0. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expeq0

Proof of Theorem expeq0

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . 6
2	1	eqeq1d 2459	. . . . 5
3	2	bibi1d 319	. . . 4
4	3	imbi2d 316	. . 3
5		oveq2 6304	. . . . . 6
6	5	eqeq1d 2459	. . . . 5
7	6	bibi1d 319	. . . 4
8	7	imbi2d 316	. . 3
9		oveq2 6304	. . . . . 6
10	9	eqeq1d 2459	. . . . 5
11	10	bibi1d 319	. . . 4
12	11	imbi2d 316	. . 3
13		oveq2 6304	. . . . . 6
14	13	eqeq1d 2459	. . . . 5
15	14	bibi1d 319	. . . 4
16	15	imbi2d 316	. . 3
17		exp1 12172	. . . 4
18	17	eqeq1d 2459	. . 3
19		nnnn0 10827	. . . . . . . 8
20		expp1 12173	. . . . . . . . . 10
21	20	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
22		expcl 12184	. . . . . . . . . 10
23		simpl 457	. . . . . . . . . 10
24	22, 23	mul0ord 10224	. . . . . . . . 9
25	21, 24	bitrd 253	. . . . . . . 8
26	19, 25	sylan2 474	. . . . . . 7
27		bi1 186	. . . . . . . . 9
28		idd 24	. . . . . . . . 9
29	27, 28	jaod 380	. . . . . . . 8
30		olc 384	. . . . . . . 8
31	29, 30	impbid1 203	. . . . . . 7
32	26, 31	sylan9bb 699	. . . . . 6
33	32	exp31 604	. . . . 5
34	33	com12 31	. . . 4
35	34	a2d 26	. . 3
36	4, 8, 12, 16, 18, 35	nnind 10579	. 2
37	36	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cn 10561  cn0 10820  cexp 12166

This theorem is referenced by:  expne0  12197  0exp  12201  sqeq0  12232  expeq0d  12306  rpexp  14261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167