MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Unicode version

Theorem expmhm 17590
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1
expmhm.2
Assertion
Ref Expression
expmhm
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 11824 . . 3
2 eqid 2422 . . 3
31, 2fmptd 5837 . 2
4 expadd 11847 . . . . 5
543expb 1173 . . . 4
6 nn0addcl 10561 . . . . . 6
76adantl 456 . . . . 5
8 oveq2 6069 . . . . . 6
9 ovex 6086 . . . . . 6
108, 2, 9fvmpt 5744 . . . . 5
117, 10syl 16 . . . 4
12 oveq2 6069 . . . . . . 7
13 ovex 6086 . . . . . . 7
1412, 2, 13fvmpt 5744 . . . . . 6
15 oveq2 6069 . . . . . . 7
16 ovex 6086 . . . . . . 7
1715, 2, 16fvmpt 5744 . . . . . 6
1814, 17oveqan12d 6080 . . . . 5
1918adantl 456 . . . 4
205, 11, 193eqtr4d 2464 . . 3
2120ralrimivva 2787 . 2
22 0nn0 10540 . . . 4
23 oveq2 6069 . . . . 5
24 ovex 6086 . . . . 5
2523, 2, 24fvmpt 5744 . . . 4
2622, 25ax-mp 5 . . 3
27 exp0 11810 . . 3
2826, 27syl5eq 2466 . 2
29 nn0subm 17578 . . . . 5
30 expmhm.1 . . . . . 6
3130submmnd 15421 . . . . 5
3229, 31ax-mp 5 . . . 4
33 cnrng 17548 . . . . 5
34 expmhm.2 . . . . . 6
3534rngmgp 16479 . . . . 5
3633, 35ax-mp 5 . . . 4
3732, 36pm3.2i 445 . . 3
3830submbas 15422 . . . . 5
3929, 38ax-mp 5 . . . 4
40 cnfldbas 17532 . . . . 5
4134, 40mgpbas 16463 . . . 4
42 cnfldadd 17533 . . . . . 6
4330, 42ressplusg 14220 . . . . 5
4429, 43ax-mp 5 . . . 4
45 cnfldmul 17534 . . . . 5
4634, 45mgpplusg 16461 . . . 4
47 cnfld0 17550 . . . . . 6
4830, 47subm0 15423 . . . . 5
4929, 48ax-mp 5 . . . 4
50 cnfld1 17551 . . . . 5
5134, 50rngidval 16475 . . . 4
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 15406 . . 3
5337, 52mpbiran 894 . 2
543, 21, 28, 53syl3anbrc 1157 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  e.cmpt 4325  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   cn0 10525   cexp 11806   cbs 14114   cress 14115   cplusg 14178   c0g 14318   cmnd 15349   cmhm 15402   csubmnd 15403   cmgp 16457   crg 16469   ccnfld 17528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-seq 11748  df-exp 11807  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-mhm 15404  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-cmn 16216  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-cring 16473  df-ur 16474  df-cnfld 17529
  Copyright terms: Public domain W3C validator