Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Unicode version

Theorem expmhm 18073
 Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1
expmhm.2
Assertion
Ref Expression
expmhm
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 12040 . . 3
2 eqid 2454 . . 3
31, 2fmptd 5990 . 2
4 expadd 12063 . . . . 5
543expb 1189 . . . 4
6 nn0addcl 10753 . . . . . 6
76adantl 466 . . . . 5
8 oveq2 6230 . . . . . 6
9 ovex 6247 . . . . . 6
108, 2, 9fvmpt 5897 . . . . 5
117, 10syl 16 . . . 4
12 oveq2 6230 . . . . . . 7
13 ovex 6247 . . . . . . 7
1412, 2, 13fvmpt 5897 . . . . . 6
15 oveq2 6230 . . . . . . 7
16 ovex 6247 . . . . . . 7
1715, 2, 16fvmpt 5897 . . . . . 6
1814, 17oveqan12d 6241 . . . . 5
1918adantl 466 . . . 4
205, 11, 193eqtr4d 2505 . . 3
2120ralrimivva 2916 . 2
22 0nn0 10732 . . . 4
23 oveq2 6230 . . . . 5
24 ovex 6247 . . . . 5
2523, 2, 24fvmpt 5897 . . . 4
2622, 25ax-mp 5 . . 3
27 exp0 12026 . . 3
2826, 27syl5eq 2507 . 2
29 nn0subm 18061 . . . . 5
30 expmhm.1 . . . . . 6
3130submmnd 15641 . . . . 5
3229, 31ax-mp 5 . . . 4
33 cnrng 18031 . . . . 5
34 expmhm.2 . . . . . 6
3534rngmgp 16827 . . . . 5
3633, 35ax-mp 5 . . . 4
3732, 36pm3.2i 455 . . 3
3830submbas 15642 . . . . 5
3929, 38ax-mp 5 . . . 4
40 cnfldbas 18015 . . . . 5
4134, 40mgpbas 16772 . . . 4
42 cnfldadd 18016 . . . . . 6
4330, 42ressplusg 14439 . . . . 5
4429, 43ax-mp 5 . . . 4
45 cnfldmul 18017 . . . . 5
4634, 45mgpplusg 16770 . . . 4
47 cnfld0 18033 . . . . . 6
4830, 47subm0 15643 . . . . 5
4929, 48ax-mp 5 . . . 4
50 cnfld1 18034 . . . . 5
5134, 50rngidval 16780 . . . 4
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 15625 . . 3
5337, 52mpbiran 909 . 2
543, 21, 28, 53syl3anbrc 1172 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800  e.cmpt 4467  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417  0cc0 9419  1`c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   cn0 10717   cexp 12022   cbs 14332   cress 14333   cplusg 14397   c0g 14537   cmnd 15568   cmhm 15621   csubmnd 15622   cmgp 16766   crg 16821   ccnfld 18011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-addf 9498  ax-mulf 9499 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-fz 11583  df-seq 11964  df-exp 12023  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-mhm 15623  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-cmn 16440  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-cring 16824  df-cnfld 18012
 Copyright terms: Public domain W3C validator