MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmul Unicode version

Theorem expmul 12211
Description: Product of exponents law for positive integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul

Proof of Theorem expmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . 7
21oveq2d 6312 . . . . . 6
3 oveq2 6304 . . . . . 6
42, 3eqeq12d 2479 . . . . 5
54imbi2d 316 . . . 4
6 oveq2 6304 . . . . . . 7
76oveq2d 6312 . . . . . 6
8 oveq2 6304 . . . . . 6
97, 8eqeq12d 2479 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 oveq2 6304 . . . . . . 7
1211oveq2d 6312 . . . . . 6
13 oveq2 6304 . . . . . 6
1412, 13eqeq12d 2479 . . . . 5
1514imbi2d 316 . . . 4
16 oveq2 6304 . . . . . . 7
1716oveq2d 6312 . . . . . 6
18 oveq2 6304 . . . . . 6
1917, 18eqeq12d 2479 . . . . 5
2019imbi2d 316 . . . 4
21 nn0cn 10830 . . . . . . . 8
2221mul01d 9800 . . . . . . 7
2322oveq2d 6312 . . . . . 6
24 exp0 12170 . . . . . 6
2523, 24sylan9eqr 2520 . . . . 5
26 expcl 12184 . . . . . 6
27 exp0 12170 . . . . . 6
2826, 27syl 16 . . . . 5
2925, 28eqtr4d 2501 . . . 4
30 oveq1 6303 . . . . . . 7
31 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . 12
32 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . 14
33 adddi 9602 . . . . . . . . . . . . . 14
3432, 33mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . 13
35 mulid1 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
3736oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
3834, 37eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
3921, 31, 38syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
4039adantll 713 . . . . . . . . . 10
4140oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
42 simpll 753 . . . . . . . . . 10
43 nn0mulcl 10857 . . . . . . . . . . 11
4443adantll 713 . . . . . . . . . 10
45 simplr 755 . . . . . . . . . 10
46 expadd 12208 . . . . . . . . . 10
4742, 44, 45, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
4841, 47eqtrd 2498 . . . . . . . 8
49 expp1 12173 . . . . . . . . 9
5026, 49sylan 471 . . . . . . . 8
5148, 50eqeq12d 2479 . . . . . . 7
5230, 51syl5ibr 221 . . . . . 6
5352expcom 435 . . . . 5
5453a2d 26 . . . 4
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 10984 . . 3
5655expdcom 439 . 2
57563imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expmulz  12212  expnass  12273  expmuld  12313  mcubic  23178  quart1  23187  log2cnv  23275  log2ublem2  23278  log2ub  23280  basellem3  23356  bclbnd  23555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator