Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmulnbnd Unicode version

Theorem expmulnbnd 12298
 Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10630 . . . . 5
2 simp1 996 . . . . 5
3 remulcl 9598 . . . . 5
41, 2, 3sylancr 663 . . . 4
5 simp3 998 . . . . 5
6 1re 9616 . . . . . 6
7 simp2 997 . . . . . 6
8 difrp 11282 . . . . . 6
96, 7, 8sylancr 663 . . . . 5
105, 9mpbid 210 . . . 4
114, 10rerpdivcld 11312 . . 3
12 expnbnd 12295 . . 3
1311, 7, 5, 12syl3anc 1228 . 2
14 2nn0 10837 . . . 4
15 nnnn0 10827 . . . . 5
1615ad2antrl 727 . . . 4
17 nn0mulcl 10857 . . . 4
1814, 16, 17sylancr 663 . . 3
192ad2antrr 725 . . . . . 6
20 2nn 10718 . . . . . . . . 9
21 simprl 756 . . . . . . . . 9
22 nnmulcl 10584 . . . . . . . . 9
2320, 21, 22sylancr 663 . . . . . . . 8
24 eluznn 11181 . . . . . . . 8
2523, 24sylan 471 . . . . . . 7
2625nnred 10576 . . . . . 6
2719, 26remulcld 9645 . . . . 5
28 0re 9617 . . . . . . . 8
29 ifcl 3983 . . . . . . . 8
3019, 28, 29sylancl 662 . . . . . . 7
31 remulcl 9598 . . . . . . 7
321, 30, 31sylancr 663 . . . . . 6
33 simplrl 761 . . . . . . . 8
3433nnred 10576 . . . . . . 7
3526, 34resubcld 10012 . . . . . 6
3632, 35remulcld 9645 . . . . 5
377ad2antrr 725 . . . . . 6
3825nnnn0d 10877 . . . . . 6
39 reexpcl 12183 . . . . . 6
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5
41 remulcl 9598 . . . . . . . 8
421, 35, 41sylancr 663 . . . . . . 7
4338nn0ge0d 10880 . . . . . . 7
44 max1 11415 . . . . . . . 8
4528, 19, 44sylancr 663 . . . . . . 7
46 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . 12
471, 34, 46sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
48 eluzle 11122 . . . . . . . . . . . 12
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5047, 26, 26, 49leadd2dd 10192 . . . . . . . . . 10
5126recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
52512timesd 10806 . . . . . . . . . 10
5350, 52breqtrrd 4478 . . . . . . . . 9
54 remulcl 9598 . . . . . . . . . . 11
551, 26, 54sylancr 663 . . . . . . . . . 10
56 leaddsub 10053 . . . . . . . . . 10
5726, 47, 55, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
5853, 57mpbid 210 . . . . . . . 8
59 2cnd 10633 . . . . . . . . 9
6034recnd 9643 . . . . . . . . 9
6159, 51, 60subdid 10037 . . . . . . . 8
6258, 61breqtrrd 4478 . . . . . . 7
63 max2 11417 . . . . . . . 8
6428, 19, 63sylancr 663 . . . . . . 7
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 10514 . . . . . 6
6619recnd 9643 . . . . . . 7
6766, 51mulcomd 9638 . . . . . 6
6830recnd 9643 . . . . . . 7
6935recnd 9643 . . . . . . 7
7059, 68, 69mul32d 9811 . . . . . 6
7165, 67, 703brtr4d 4482 . . . . 5
7210ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
7372rpred 11285 . . . . . . . 8
7473, 35remulcld 9645 . . . . . . 7
7533nnnn0d 10877 . . . . . . . 8
76 reexpcl 12183 . . . . . . . 8
7737, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . 7
7874, 77remulcld 9645 . . . . . 6
79 simplrr 762 . . . . . . . . . 10
801, 19, 3sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
8180, 77, 72ltdivmuld 11332 . . . . . . . . . 10
8279, 81mpbid 210 . . . . . . . . 9
835ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
84 posdif 10070 . . . . . . . . . . . 12
856, 37, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . 10
8733nnzd 10993 . . . . . . . . . . 11
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
90 0lt1 10100 . . . . . . . . . . . . 13
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 9764 . . . . . . . . . . 11
93 expgt0 12199 . . . . . . . . . . 11
9437, 87, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
9573, 77, 86, 94mulgt0d 9758 . . . . . . . . 9
96 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
9796breq1d 4462 . . . . . . . . . 10
98 2t0e0 10716 . . . . . . . . . . . 12
99 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . 11
101100breq1d 4462 . . . . . . . . . 10
10297, 101ifboth 3977 . . . . . . . . 9
10382, 95, 102syl2anc 661 . . . . . . . 8
10473, 77remulcld 9645 . . . . . . . . 9
105 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
106602timesd 10806 . . . . . . . . . . . . . 14
107106fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
108105, 107eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12
109 eluzsub 11139 . . . . . . . . . . . 12
11087, 87, 108, 109syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
111 eluznn 11181 . . . . . . . . . . 11
11233, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
113112nngt0d 10604 . . . . . . . . 9
114 ltmul1 10417 . . . . . . . . 9
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1232 . . . . . . . 8
116103, 115mpbid 210 . . . . . . 7
11773recnd 9643 . . . . . . . 8
11877recnd 9643 . . . . . . . 8
119117, 118, 69mul32d 9811 . . . . . . 7
120116, 119breqtrd 4476 . . . . . 6
121 peano2re 9774 . . . . . . . . . 10
12274, 121syl 16 . . . . . . . . 9
123112nnnn0d 10877 . . . . . . . . . 10
124 reexpcl 12183 . . . . . . . . . 10
12537, 123, 124syl2anc 661 . . . . . . . . 9
12674ltp1d 10501 . . . . . . . . 9
12788, 37, 92ltled 9754 . . . . . . . . . 10
128 bernneq2 12293 . . . . . . . . . 10
12937, 123, 127, 128syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 9763 . . . . . . . 8
13137recnd 9643 . . . . . . . . 9
13292gt0ne0d 10142 . . . . . . . . 9
133 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
134133adantl 466 . . . . . . . . 9
135 expsub 12213 . . . . . . . . 9
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 1229 . . . . . . . 8
137130, 136breqtrd 4476 . . . . . . 7
138 ltmuldiv 10440 . . . . . . . 8
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1232 . . . . . . 7
140137, 139mpbird 232 . . . . . 6
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 9764 . . . . 5
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 9761 . . . 4
143142ralrimiva 2871 . . 3
144 fveq2 5871 . . . . 5
145144raleqdv 3060 . . . 4
146145rspcev 3210 . . 3
14718, 143, 146syl2anc 661 . 2
14813, 147rexlimddv 2953 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  ifcif 3941   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2`c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cexp 12166 This theorem is referenced by:  geomulcvg  13685 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov