MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expneg Unicode version

Theorem expneg 12174
Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expneg

Proof of Theorem expneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 nnne0 10593 . . . . . . . 8
32adantl 466 . . . . . . 7
4 nncn 10569 . . . . . . . . . 10
54adantl 466 . . . . . . . . 9
65negeq0d 9946 . . . . . . . 8
76necon3abid 2703 . . . . . . 7
83, 7mpbid 210 . . . . . 6
98iffalsed 3952 . . . . 5
10 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
1110adantl 466 . . . . . . . 8
12 nn0nlt0 10847 . . . . . . . 8
1311, 12syl 16 . . . . . . 7
1411nn0red 10878 . . . . . . . 8
1514lt0neg1d 10147 . . . . . . 7
1613, 15mtbid 300 . . . . . 6
1716iffalsed 3952 . . . . 5
185negnegd 9945 . . . . . . 7
1918fveq2d 5875 . . . . . 6
2019oveq2d 6312 . . . . 5
219, 17, 203eqtrd 2502 . . . 4
22 nnnegz 10892 . . . . 5
23 expval 12168 . . . . 5
2422, 23sylan2 474 . . . 4
25 expnnval 12169 . . . . 5
2625oveq2d 6312 . . . 4
2721, 24, 263eqtr4d 2508 . . 3
28 1div1e1 10262 . . . . 5
2928eqcomi 2470 . . . 4
30 negeq 9835 . . . . . . 7
31 neg0 9888 . . . . . . 7
3230, 31syl6eq 2514 . . . . . 6
3332oveq2d 6312 . . . . 5
34 exp0 12170 . . . . 5
3533, 34sylan9eqr 2520 . . . 4
36 oveq2 6304 . . . . . 6
3736, 34sylan9eqr 2520 . . . . 5
3837oveq2d 6312 . . . 4
3929, 35, 383eqtr4a 2524 . . 3
4027, 39jaodan 785 . 2
411, 40sylan2b 475 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889  seqcseq 12107   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expneg2  12175  expn1  12176  expnegz  12200  efexp  13836  pcexp  14383  aaliou3lem8  22741  basellem3  23356  basellem4  23357  basellem8  23361  dvtan  30065  irrapxlem5  30762  pellexlem2  30766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator