Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 Unicode version

Theorem expnlbnd2 12297
 Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 12296 . 2
2 simpl2 1000 . . . . . . . 8
3 simpl3 1001 . . . . . . . . 9
4 1re 9616 . . . . . . . . . 10
5 ltle 9694 . . . . . . . . . 10
64, 2, 5sylancr 663 . . . . . . . . 9
73, 6mpd 15 . . . . . . . 8
8 simprr 757 . . . . . . . 8
9 leexp2a 12221 . . . . . . . 8
102, 7, 8, 9syl3anc 1228 . . . . . . 7
11 0red 9618 . . . . . . . . . . 11
12 1red 9632 . . . . . . . . . . 11
13 0lt1 10100 . . . . . . . . . . . 12
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11
1511, 12, 2, 14, 3lttrd 9764 . . . . . . . . . 10
162, 15elrpd 11283 . . . . . . . . 9
17 nnz 10911 . . . . . . . . . 10
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
19 rpexpcl 12185 . . . . . . . . 9
2016, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8
21 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
2221ad2antll 728 . . . . . . . . 9
23 rpexpcl 12185 . . . . . . . . 9
2416, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8
2520, 24lerecd 11304 . . . . . . 7
2610, 25mpbid 210 . . . . . 6
2724rprecred 11296 . . . . . . 7
2820rprecred 11296 . . . . . . 7
29 simpl1 999 . . . . . . . 8
3029rpred 11285 . . . . . . 7
31 lelttr 9696 . . . . . . 7
3227, 28, 30, 31syl3anc 1228 . . . . . 6
3326, 32mpand 675 . . . . 5
3433anassrs 648 . . . 4
3534ralrimdva 2875 . . 3
3635reximdva 2932 . 2
371, 36mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1`c1 9514   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cexp 12166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167
 Copyright terms: Public domain W3C validator