Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnprm Unicode version

Theorem expnprm 14421
 Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
expnprm

Proof of Theorem expnprm
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 11184 . . . 4
21simprbi 464 . . 3
4 eluzelz 11119 . . . . . . . 8
54ad2antlr 726 . . . . . . 7
6 simpr 461 . . . . . . . 8
7 simpll 753 . . . . . . . 8
8 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . 12
98adantl 466 . . . . . . . . . . 11
109nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10
11 eluz2nn 11148 . . . . . . . . . . . 12
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
13120expd 12326 . . . . . . . . . 10
1410, 13neeqtrrd 2757 . . . . . . . . 9
15 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
1615necon3i 2697 . . . . . . . . 9
1714, 16syl 16 . . . . . . . 8
18 pcqcl 14380 . . . . . . . 8
196, 7, 17, 18syl12anc 1226 . . . . . . 7
20 dvdsmul1 14005 . . . . . . 7
215, 19, 20syl2anc 661 . . . . . 6
229nncnd 10577 . . . . . . . . 9
2322exp1d 12305 . . . . . . . 8
2423oveq2d 6312 . . . . . . 7
25 1z 10919 . . . . . . . 8
26 pcid 14396 . . . . . . . 8
276, 25, 26sylancl 662 . . . . . . 7
28 pcexp 14383 . . . . . . . 8
296, 7, 17, 5, 28syl121anc 1233 . . . . . . 7
3024, 27, 293eqtr3rd 2507 . . . . . 6
3121, 30breqtrd 4476 . . . . 5
3231ex 434 . . . 4
3311adantl 466 . . . . . 6
3433nnnn0d 10877 . . . . 5
35 dvds1 14034 . . . . 5
3634, 35syl 16 . . . 4
3732, 36sylibd 214 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561  2`c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cq 11211   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360 This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  23670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361