Theorem expp1 12173

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
expp1

Proof of Theorem expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10822	. 2
2		seqp1 12122	. . . . . . 7
3		nnuz 11145	. . . . . . 7
4	2, 3	eleq2s 2565	. . . . . 6
5	4	adantl 466	. . . . 5
6		peano2nn 10573	. . . . . . 7
7		fvconst2g 6124	. . . . . . 7
8	6, 7	sylan2 474	. . . . . 6
9	8	oveq2d 6312	. . . . 5
10	5, 9	eqtrd 2498	. . . 4
11		expnnval 12169	. . . . 5
12	6, 11	sylan2 474	. . . 4
13		expnnval 12169	. . . . 5
14	13	oveq1d 6311	. . . 4
15	10, 12, 14	3eqtr4d 2508	. . 3
16		exp1 12172	. . . . . 6
17		mulid2 9615	. . . . . 6
18	16, 17	eqtr4d 2501	. . . . 5
19	18	adantr 465	. . . 4
20		simpr 461	. . . . . . 7
21	20	oveq1d 6311	. . . . . 6
22		0p1e1 10672	. . . . . 6
23	21, 22	syl6eq 2514	. . . . 5
24	23	oveq2d 6312	. . . 4
25		oveq2 6304	. . . . . 6
26		exp0 12170	. . . . . 6
27	25, 26	sylan9eqr 2520	. . . . 5
28	27	oveq1d 6311	. . . 4
29	19, 24, 28	3eqtr4d 2508	. . 3
30	15, 29	jaodan 785	. 2
31	1, 30	sylan2b 475	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {csn 4029  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cn 10561  cn0 10820  cuz 11110  seqcseq 12107  cexp 12166

This theorem is referenced by:  expcllem  12177  expm1t  12194  expeq0  12196  mulexp  12205  expadd  12208  expmul  12211  leexp2r  12223  leexp1a  12224  sqval  12227  cu2  12266  i3  12269  binom3  12287  bernneq  12292  modexp  12301  expp1d  12311  faclbnd  12368  faclbnd2  12369  faclbnd4lem1  12371  faclbnd6  12377  cjexp  12983  absexp  13137  binomlem  13641  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  geolim  13679  geo2sum  13682  efexp  13836  demoivreALT  13936  rpnnen2lem11  13958  prmdvdsexp  14255  pcexp  14383  prmreclem6  14439  decexp2  14561  numexpp1  14564  cnfldexp  18451  expcn  21376  mbfi1fseqlem5  22126  dvexp  22356  aaliou3lem2  22739  tangtx  22898  cxpmul2  23070  mcubic  23178  cubic2  23179  binom4  23181  dquartlem2  23183  quart1lem  23186  quart1  23187  quartlem1  23188  log2cnv  23275  log2ublem2  23278  log2ub  23280  basellem3  23356  chtublem  23486  perfectlem1  23504  perfectlem2  23505  bclbnd  23555  bposlem8  23566  dchrisum0flblem1  23693  pntlemo  23792  qabvexp  23811  rusgranumwlks  24956  oddpwdc  28293  subfacval2  28631  sinccvglem  29038  heiborlem6  30312  bfplem1  30318  altgsumbcALT  32942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167