Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exprmfct Unicode version

Theorem exprmfct 14251
 Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct
Distinct variable group:   N,

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 11148 . 2
2 eleq1 2529 . . . 4
32imbi1d 317 . . 3
4 eleq1 2529 . . . 4
5 breq2 4456 . . . . 5
65rexbidv 2968 . . . 4
74, 6imbi12d 320 . . 3
8 eleq1 2529 . . . 4
9 breq2 4456 . . . . 5
109rexbidv 2968 . . . 4
118, 10imbi12d 320 . . 3
12 eleq1 2529 . . . 4
13 breq2 4456 . . . . 5
1413rexbidv 2968 . . . 4
1512, 14imbi12d 320 . . 3
16 eleq1 2529 . . . 4
17 breq2 4456 . . . . 5
1817rexbidv 2968 . . . 4
1916, 18imbi12d 320 . . 3
20 1m1e0 10629 . . . . 5
21 uz2m1nn 11185 . . . . 5
2220, 21syl5eqelr 2550 . . . 4
23 0nnn 10592 . . . . 5
2423pm2.21i 131 . . . 4
2522, 24syl 16 . . 3
26 prmz 14221 . . . . . 6
27 iddvds 13997 . . . . . 6
2826, 27syl 16 . . . . 5
29 breq1 4455 . . . . . 6
3029rspcev 3210 . . . . 5
3128, 30mpdan 668 . . . 4
3231a1d 25 . . 3
33 simpl 457 . . . . . 6
34 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
36 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
38 dvdsmul1 14005 . . . . . . . . 9
3935, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . 8
40 prmz 14221 . . . . . . . . . 10
4140adantl 466 . . . . . . . . 9
4235, 37zmulcld 11000 . . . . . . . . 9
43 dvdstr 14018 . . . . . . . . 9
4441, 35, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4539, 44mpan2d 674 . . . . . . 7
4645reximdva 2932 . . . . . 6
4733, 46embantd 54 . . . . 5
4847a1dd 46 . . . 4
503, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49prmind 14229 . 2
511, 50mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cmin 9828   cn 10561  2`c2 10610   cz 10889   cuz 11110   cdvds 13986   cprime 14217 This theorem is referenced by:  isprm5  14253  maxprmfct  14254  rpexp  14261  pc2dvds  14402  prmunb  14432  ablfacrplem  17116  muval1  23407  musum  23467  lgsne0  23608  dchrisum0flb  23695  frgrareggt1  25116  nn0prpwlem  30140 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-dvds 13987  df-prm 14218
 Copyright terms: Public domain W3C validator