MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expval Unicode version

Theorem expval 12168
Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expval

Proof of Theorem expval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4
21eqeq1d 2459 . . 3
31breq2d 4464 . . . 4
4 simpl 457 . . . . . . . 8
54sneqd 4041 . . . . . . 7
65xpeq2d 5028 . . . . . 6
76seqeq3d 12115 . . . . 5
87, 1fveq12d 5877 . . . 4
91negeqd 9837 . . . . . 6
107, 9fveq12d 5877 . . . . 5
1110oveq2d 6312 . . . 4
123, 8, 11ifbieq12d 3968 . . 3
132, 12ifbieq2d 3966 . 2
14 df-exp 12167 . 2
15 1ex 9612 . . 3
16 fvex 5881 . . . 4
17 ovex 6324 . . . 4
1816, 17ifex 4010 . . 3
1915, 18ifex 4010 . 2
2013, 14, 19ovmpt2a 6433 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889  seqcseq 12107   cexp 12166
This theorem is referenced by:  expnnval  12169  exp0  12170  expneg  12174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-1cn 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-neg 9831  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator