MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exss Unicode version

Theorem exss 4715
Description: Restricted existence in a class (even if proper) implies restricted existence in a subset. (Contributed by NM, 23-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
exss
Distinct variable groups:   , ,   ,

Proof of Theorem exss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2816 . . . 4
21neeq1i 2742 . . 3
3 rabn0 3805 . . 3
4 n0 3794 . . 3
52, 3, 43bitr3i 275 . 2
6 vex 3112 . . . . . 6
76snss 4154 . . . . 5
8 ssab2 3583 . . . . . 6
9 sstr2 3510 . . . . . 6
108, 9mpi 17 . . . . 5
117, 10sylbi 195 . . . 4
12 simpr 461 . . . . . . . 8
13 equsb1 2107 . . . . . . . . 9
14 elsn 4043 . . . . . . . . . 10
1514sbbii 1746 . . . . . . . . 9
1613, 15mpbir 209 . . . . . . . 8
1712, 16jctil 537 . . . . . . 7
18 df-clab 2443 . . . . . . . 8
19 sban 2140 . . . . . . . 8
2018, 19bitri 249 . . . . . . 7
21 df-rab 2816 . . . . . . . . 9
2221eleq2i 2535 . . . . . . . 8
23 df-clab 2443 . . . . . . . . 9
24 sban 2140 . . . . . . . . 9
2523, 24bitri 249 . . . . . . . 8
2622, 25bitri 249 . . . . . . 7
2717, 20, 263imtr4i 266 . . . . . 6
28 ne0i 3790 . . . . . 6
2927, 28syl 16 . . . . 5
30 rabn0 3805 . . . . 5
3129, 30sylib 196 . . . 4
32 snex 4693 . . . . 5
33 sseq1 3524 . . . . . 6
34 rexeq 3055 . . . . . 6
3533, 34anbi12d 710 . . . . 5
3632, 35spcev 3201 . . . 4
3711, 31, 36syl2anc 661 . . 3
3837exlimiv 1722 . 2
395, 38sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  [wsb 1739  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-sn 4030  df-pr 4032
  Copyright terms: Public domain W3C validator