Theorem extmptsuppeq 6943

Description: The support of an extended function is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
extmptsuppeq.b
extmptsuppeq.a
extmptsuppeq.z

Assertion

Ref	Expression
extmptsuppeq

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem extmptsuppeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extmptsuppeq.a	. . . . . . . . 9
2	1	adantl 466	. . . . . . . 8
3	2	sseld 3502	. . . . . . 7
4	3	anim1d 564	. . . . . 6
5		eldif 3485	. . . . . . . . . . . . 13
6		extmptsuppeq.z	. . . . . . . . . . . . . 14
7	6	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13
8	5, 7	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . 12
9	8	expr 615	. . . . . . . . . . 11
10		elsnc2g 4059	. . . . . . . . . . . . 13
11		elndif 3627	. . . . . . . . . . . . 13
12	10, 11	syl6bir 229	. . . . . . . . . . . 12
13	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
14	9, 13	syld 44	. . . . . . . . . 10
15	14	con4d 105	. . . . . . . . 9
16	15	impr 619	. . . . . . . 8
17		simprr 757	. . . . . . . 8
18	16, 17	jca 532	. . . . . . 7
19	18	ex 434	. . . . . 6
20	4, 19	impbid 191	. . . . 5
21	20	rabbidva2 3099	. . . 4
22		eqid 2457	. . . . 5
23		extmptsuppeq.b	. . . . . . 7
24	23, 1	ssexd 4599	. . . . . 6
25	24	adantl 466	. . . . 5
26		simpl 457	. . . . 5
27	22, 25, 26	mptsuppdifd 6941	. . . 4
28		eqid 2457	. . . . 5
29	23	adantl 466	. . . . 5
30	28, 29, 26	mptsuppdifd 6941	. . . 4
31	21, 27, 30	3eqtr4d 2508	. . 3
32	31	ex 434	. 2
33		simpr 461	. . . . . 6
34	33	con3i 135	. . . . 5
35		supp0prc 6921	. . . . 5
36	34, 35	syl 16	. . . 4
37		simpr 461	. . . . . 6
38	37	con3i 135	. . . . 5
39		supp0prc 6921	. . . . 5
40	38, 39	syl 16	. . . 4
41	36, 40	eqtr4d 2501	. . 3
42	41	a1d 25	. 2
43	32, 42	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  (class class class)co 6296  csupp 6918

This theorem is referenced by:  cantnfrescl  8116  cantnfres  8117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6919