MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f00 Unicode version

Theorem f00 5772
Description: A class is a function with empty codomain iff it and its domain are empty. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f00

Proof of Theorem f00
StepHypRef Expression
1 ffun 5738 . . . . 5
2 frn 5742 . . . . . . 7
3 ss0 3816 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 dm0rn0 5224 . . . . . 6
64, 5sylibr 212 . . . . 5
7 df-fn 5596 . . . . 5
81, 6, 7sylanbrc 664 . . . 4
9 fn0 5705 . . . 4
108, 9sylib 196 . . 3
11 fdm 5740 . . . 4
1211, 6eqtr3d 2500 . . 3
1310, 12jca 532 . 2
14 f0 5771 . . 3
15 feq1 5718 . . . 4
16 feq2 5719 . . . 4
1715, 16sylan9bb 699 . . 3
1814, 17mpbiri 233 . 2
1913, 18impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  C_wss 3475   c0 3784  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589
This theorem is referenced by:  cantnff  8114  0wrd0  12566  supcvg  13667  ram0  14540  itgsubstlem  22449  uhgra0v  24310  usgra0v  24371  usgra1v  24390  wlkv0  24760  ismgmOLD  25322  uhg0v  32377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597
  Copyright terms: Public domain W3C validator