MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0rn0 Unicode version

Theorem f0rn0 5775
Description: If there is no element in the range of a function, its domain must be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
f0rn0
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem f0rn0
StepHypRef Expression
1 fdm 5740 . . 3
2 frn 5742 . . . . . . . . 9
3 ralnex 2903 . . . . . . . . . 10
4 disj 3867 . . . . . . . . . . 11
5 df-ss 3489 . . . . . . . . . . . 12
6 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . 14
76eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . . . 13
8 eqtr2 2484 . . . . . . . . . . . . . 14
98ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
107, 9sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
115, 10sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
124, 11syl5bir 218 . . . . . . . . . 10
133, 12syl5bir 218 . . . . . . . . 9
142, 13syl 16 . . . . . . . 8
1514imp 429 . . . . . . 7
1615adantl 466 . . . . . 6
17 dm0rn0 5224 . . . . . 6
1816, 17sylibr 212 . . . . 5
19 eqeq1 2461 . . . . . . 7
2019eqcoms 2469 . . . . . 6
2120adantr 465 . . . . 5
2218, 21mpbird 232 . . . 4
2322exp32 605 . . 3
241, 23mpcom 36 . 2
2524imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589
This theorem is referenced by:  usgravd00  24919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fn 5596  df-f 5597
  Copyright terms: Public domain W3C validator