MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f12dfv Unicode version

Theorem f12dfv 6179
Description: A one-to-one function with a domain with at least two different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f12dfv.a
Assertion
Ref Expression
f12dfv

Proof of Theorem f12dfv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff14b 6178 . 2
2 f12dfv.a . . . . 5
32raleqi 3058 . . . 4
4 sneq 4039 . . . . . . . . 9
54difeq2d 3621 . . . . . . . 8
6 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
76neeq1d 2734 . . . . . . . 8
85, 7raleqbidv 3068 . . . . . . 7
9 sneq 4039 . . . . . . . . 9
109difeq2d 3621 . . . . . . . 8
11 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1211neeq1d 2734 . . . . . . . 8
1310, 12raleqbidv 3068 . . . . . . 7
148, 13ralprg 4078 . . . . . 6
1514adantr 465 . . . . 5
162difeq1i 3617 . . . . . . . . . . 11
17 difprsn1 4166 . . . . . . . . . . 11
1816, 17syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
1918adantl 466 . . . . . . . . 9
2019raleqdv 3060 . . . . . . . 8
21 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2221neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
2322ralsng 4064 . . . . . . . . . 10
2423adantl 466 . . . . . . . . 9
2524adantr 465 . . . . . . . 8
2620, 25bitrd 253 . . . . . . 7
272difeq1i 3617 . . . . . . . . . . 11
28 difprsn2 4167 . . . . . . . . . . 11
2927, 28syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
3029adantl 466 . . . . . . . . 9
3130raleqdv 3060 . . . . . . . 8
32 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3332neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
3433ralsng 4064 . . . . . . . . . 10
3534adantr 465 . . . . . . . . 9
3635adantr 465 . . . . . . . 8
3731, 36bitrd 253 . . . . . . 7
3826, 37anbi12d 710 . . . . . 6
39 necom 2726 . . . . . . . 8
4039biimpi 194 . . . . . . 7
4140pm4.71i 632 . . . . . 6
4238, 41syl6bbr 263 . . . . 5
4315, 42bitrd 253 . . . 4
443, 43syl5bb 257 . . 3
4544anbi2d 703 . 2
461, 45syl5bb 257 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  \cdif 3472  {csn 4029  {cpr 4031  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  usgra2wlkspthlem1  24619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator