Theorem f12dfv 6179

Description: A one-to-one function with a domain with at least two different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
f12dfv.a

Assertion

Ref	Expression
f12dfv

Proof of Theorem f12dfv

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff14b 6178	. 2
2		f12dfv.a	. . . . 5
3	2	raleqi 3058	. . . 4
4		sneq 4039	. . . . . . . . 9
5	4	difeq2d 3621	. . . . . . . 8
6		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
7	6	neeq1d 2734	. . . . . . . 8
8	5, 7	raleqbidv 3068	. . . . . . 7
9		sneq 4039	. . . . . . . . 9
10	9	difeq2d 3621	. . . . . . . 8
11		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
12	11	neeq1d 2734	. . . . . . . 8
13	10, 12	raleqbidv 3068	. . . . . . 7
14	8, 13	ralprg 4078	. . . . . 6
15	14	adantr 465	. . . . 5
16	2	difeq1i 3617	. . . . . . . . . . 11
17		difprsn1 4166	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	syl5eq 2510	. . . . . . . . . 10
19	18	adantl 466	. . . . . . . . 9
20	19	raleqdv 3060	. . . . . . . 8
21		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
22	21	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . 11
23	22	ralsng 4064	. . . . . . . . . 10
24	23	adantl 466	. . . . . . . . 9
25	24	adantr 465	. . . . . . . 8
26	20, 25	bitrd 253	. . . . . . 7
27	2	difeq1i 3617	. . . . . . . . . . 11
28		difprsn2 4167	. . . . . . . . . . 11
29	27, 28	syl5eq 2510	. . . . . . . . . 10
30	29	adantl 466	. . . . . . . . 9
31	30	raleqdv 3060	. . . . . . . 8
32		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
33	32	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . 11
34	33	ralsng 4064	. . . . . . . . . 10
35	34	adantr 465	. . . . . . . . 9
36	35	adantr 465	. . . . . . . 8
37	31, 36	bitrd 253	. . . . . . 7
38	26, 37	anbi12d 710	. . . . . 6
39		necom 2726	. . . . . . . 8
40	39	biimpi 194	. . . . . . 7
41	40	pm4.71i 632	. . . . . 6
42	38, 41	syl6bbr 263	. . . . 5
43	15, 42	bitrd 253	. . . 4
44	3, 43	syl5bb 257	. . 3
45	44	anbi2d 703	. 2
46	1, 45	syl5bb 257	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  \cdif 3472  {csn 4029  {cpr 4031  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  usgra2wlkspthlem1  24619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601