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Theorem f13dfv 6180
Description: A one-to-one function with a domain with at least three different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f13dfv.a
Assertion
Ref Expression
f13dfv

Proof of Theorem f13dfv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff14b 6178 . 2
2 f13dfv.a . . . . 5
32raleqi 3058 . . . 4
4 sneq 4039 . . . . . . . . 9
54difeq2d 3621 . . . . . . . 8
6 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
76neeq1d 2734 . . . . . . . 8
85, 7raleqbidv 3068 . . . . . . 7
9 sneq 4039 . . . . . . . . 9
109difeq2d 3621 . . . . . . . 8
11 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1211neeq1d 2734 . . . . . . . 8
1310, 12raleqbidv 3068 . . . . . . 7
14 sneq 4039 . . . . . . . . 9
1514difeq2d 3621 . . . . . . . 8
16 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1716neeq1d 2734 . . . . . . . 8
1815, 17raleqbidv 3068 . . . . . . 7
198, 13, 18raltpg 4080 . . . . . 6
2019adantr 465 . . . . 5
212difeq1i 3617 . . . . . . . . . . 11
22 tprot 4125 . . . . . . . . . . . . 13
2322difeq1i 3617 . . . . . . . . . . . 12
24 necom 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 necom 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2624, 25anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14
28273adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
29 diftpsn3 4168 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3123, 30syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
3221, 31syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
3332adantl 466 . . . . . . . . 9
3433raleqdv 3060 . . . . . . . 8
35 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3635neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
37 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3837neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
3936, 38ralprg 4078 . . . . . . . . . 10
40393adant1 1014 . . . . . . . . 9
4140adantr 465 . . . . . . . 8
4234, 41bitrd 253 . . . . . . 7
432difeq1i 3617 . . . . . . . . . . 11
44 tpcomb 4127 . . . . . . . . . . . . 13
4544difeq1i 3617 . . . . . . . . . . . 12
46 necom 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14
49483adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13
50 diftpsn3 4168 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5245, 51syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
5343, 52syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
5453adantl 466 . . . . . . . . 9
5554raleqdv 3060 . . . . . . . 8
56 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
5756neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
5837neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
5957, 58ralprg 4078 . . . . . . . . . 10
60593adant2 1015 . . . . . . . . 9
6160adantr 465 . . . . . . . 8
6255, 61bitrd 253 . . . . . . 7
632difeq1i 3617 . . . . . . . . . . 11
64 diftpsn3 4168 . . . . . . . . . . . 12
65643adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
6663, 65syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10
6766adantl 466 . . . . . . . . 9
6867raleqdv 3060 . . . . . . . 8
6956neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
7035neeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11
7169, 70ralprg 4078 . . . . . . . . . 10
72713adant3 1016 . . . . . . . . 9
7372adantr 465 . . . . . . . 8
7468, 73bitrd 253 . . . . . . 7
7542, 62, 743anbi123d 1299 . . . . . 6
76 ancom 450 . . . . . . . 8
77763anbi2i 1188 . . . . . . 7
78 3an6 1309 . . . . . . 7
79 3anrot 978 . . . . . . . . . 10
8079bicomi 202 . . . . . . . . 9
81 necom 2726 . . . . . . . . . 10
82 necom 2726 . . . . . . . . . 10
83 necom 2726 . . . . . . . . . 10
8481, 82, 833anbi123i 1185 . . . . . . . . 9
8580, 84anbi12i 697 . . . . . . . 8
86 anidm 644 . . . . . . . 8
87 3ancoma 980 . . . . . . . . 9
88 necom 2726 . . . . . . . . . 10
89883anbi2i 1188 . . . . . . . . 9
9087, 89bitri 249 . . . . . . . 8
9185, 86, 903bitri 271 . . . . . . 7
9277, 78, 913bitri 271 . . . . . 6
9375, 92syl6bb 261 . . . . 5
9420, 93bitrd 253 . . . 4
953, 94syl5bb 257 . . 3
9695anbi2d 703 . 2
971, 96syl5bb 257 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  \cdif 3472  {csn 4029  {cpr 4031  {ctp 4033  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  f13idfv  12106  usgra2wlkspthlem2  24620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601
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