MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmex Unicode version

Theorem f1dmex 6770
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 4563. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 5786 . . . . . 6
2 frn 5742 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
4 ssexg 4598 . . . . 5
53, 4sylan 471 . . . 4
65ex 434 . . 3
7 f1cnv 5844 . . . 4
8 f1ofo 5828 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
10 fornex 6769 . . 3
116, 9, 10syl6ci 65 . 2
1211imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475  `'ccnv 5003  rancrn 5005  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592
This theorem is referenced by:  f1ovv  6771  f1domg  7555  ordtypelem10  7973  oiexg  7981  inf3lem7  8072  pwfseqlem4  9061  pwfseqlem5  9062  grothomex  9228  gsumzf1o  16917  gsumzf1oOLD  16920  dprdf1o  17079  f1lindf  18857  tsmsf1o  20647  diophrw  30692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator