MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dom3el3dif Unicode version

Theorem f1dom3el3dif 6176
Description: The range of a 1-1 function from a set with three different elements has (at least) three different elements. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1dom3fv3dif.v
f1dom3fv3dif.n
f1dom3fv3dif.f
Assertion
Ref Expression
f1dom3el3dif
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem f1dom3el3dif
StepHypRef Expression
1 f1dom3fv3dif.f . . 3
2 f1f 5786 . . . 4
3 simpr 461 . . . . . . 7
4 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10
543mix1d 1171 . . . . . . . . 9
6 f1dom3fv3dif.v . . . . . . . . . . 11
76simp1d 1008 . . . . . . . . . 10
8 eltpg 4071 . . . . . . . . . 10
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9
105, 9mpbird 232 . . . . . . . 8
1110adantr 465 . . . . . . 7
123, 11ffvelrnd 6032 . . . . . 6
13 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10
14133mix2d 1172 . . . . . . . . 9
156simp2d 1009 . . . . . . . . . 10
16 eltpg 4071 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1814, 17mpbird 232 . . . . . . . 8
1918adantr 465 . . . . . . 7
203, 19ffvelrnd 6032 . . . . . 6
216simp3d 1010 . . . . . . . . 9
22 tpid3g 4145 . . . . . . . . 9
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8
2423adantr 465 . . . . . . 7
253, 24ffvelrnd 6032 . . . . . 6
2612, 20, 253jca 1176 . . . . 5
2726expcom 435 . . . 4
282, 27syl 16 . . 3
291, 28mpcom 36 . 2
30 f1dom3fv3dif.n . . 3
316, 30, 1f1dom3fv3dif 6175 . 2
32 neeq1 2738 . . . 4
33 neeq1 2738 . . . 4
3432, 333anbi12d 1300 . . 3
35 neeq2 2740 . . . 4
36 neeq1 2738 . . . 4
3735, 363anbi13d 1301 . . 3
38 neeq2 2740 . . . 4
39 neeq2 2740 . . . 4
4038, 393anbi23d 1302 . . 3
4134, 37, 40rspc3ev 3223 . 2
4229, 31, 41syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {ctp 4033  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator