Theorem f1dom3fv3dif 6175

Description: The function values for a 1-1 function from a set with three different elements are different. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1dom3fv3dif.v
f1dom3fv3dif.n
f1dom3fv3dif.f

Assertion

Ref	Expression
f1dom3fv3dif

Proof of Theorem f1dom3fv3dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dom3fv3dif.n	. . . 4
2	1	simp1d 1008	. . 3
3		f1dom3fv3dif.f	. . . . 5
4		eqidd 2458	. . . . . . 7
5	4	3mix1d 1171	. . . . . 6
6		f1dom3fv3dif.v	. . . . . . . 8
7	6	simp1d 1008	. . . . . . 7
8		eltpg 4071	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6
10	5, 9	mpbird 232	. . . . 5
11		eqidd 2458	. . . . . . 7
12	11	3mix2d 1172	. . . . . 6
13	6	simp2d 1009	. . . . . . 7
14		eltpg 4071	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6
16	12, 15	mpbird 232	. . . . 5
17		f1fveq 6170	. . . . 5
18	3, 10, 16, 17	syl12anc 1226	. . . 4
19	18	necon3bid 2715	. . 3
20	2, 19	mpbird 232	. 2
21	1	simp2d 1009	. . 3
22	6	simp3d 1010	. . . . . 6
23		tpid3g 4145	. . . . . 6
24	22, 23	syl 16	. . . . 5
25		f1fveq 6170	. . . . 5
26	3, 10, 24, 25	syl12anc 1226	. . . 4
27	26	necon3bid 2715	. . 3
28	21, 27	mpbird 232	. 2
29	1	simp3d 1010	. . 3
30		f1fveq 6170	. . . . 5
31	3, 16, 24, 30	syl12anc 1226	. . . 4
32	31	necon3bid 2715	. . 3
33	29, 32	mpbird 232	. 2
34	20, 28, 33	3jca 1176	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {ctp 4033  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  f1dom3el3dif  6176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601