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Theorem f1eqcocnv 6204
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5850 . . . 4
2 coeq2 5166 . . . . 5
32eqeq1d 2459 . . . 4
41, 3syl5ibcom 220 . . 3
54adantr 465 . 2
6 f1fn 5787 . . . . . . 7
76adantl 466 . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
9 f1fn 5787 . . . . . . 7
109adantr 465 . . . . . 6
1110adantr 465 . . . . 5
12 equid 1791 . . . . . . . . . 10
13 resieq 5289 . . . . . . . . . 10
1412, 13mpbiri 233 . . . . . . . . 9
1514anidms 645 . . . . . . . 8
1615adantl 466 . . . . . . 7
17 breq 4454 . . . . . . . 8
1817ad2antlr 726 . . . . . . 7
1916, 18mpbird 232 . . . . . 6
20 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
217, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
23 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
247, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14
27 funopfvb 5916 . . . . . . . . . . . . . 14
2822, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
2928bicomd 201 . . . . . . . . . . . 12
30 df-br 4453 . . . . . . . . . . . 12
31 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . 12
3229, 30, 313bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11
3332biimpd 207 . . . . . . . . . 10
34 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3510, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
37 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3810, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14
41 funopfvb 5916 . . . . . . . . . . . . . 14
4236, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
43 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . 13
4442, 43syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . 12
45 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
46 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46brcnv 5190 . . . . . . . . . . . 12
48 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . 12
4944, 47, 483bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11
5049biimpd 207 . . . . . . . . . 10
5133, 50anim12d 563 . . . . . . . . 9
5251eximdv 1710 . . . . . . . 8
5346, 46brco 5178 . . . . . . . 8
54 fvex 5881 . . . . . . . . 9
5554eqvinc 3226 . . . . . . . 8
5652, 53, 553imtr4g 270 . . . . . . 7
5756adantlr 714 . . . . . 6
5819, 57mpd 15 . . . . 5
598, 11, 58eqfnfvd 5984 . . . 4
6059eqcomd 2465 . . 3
6160ex 434 . 2
625, 61impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452   cid 4795  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  weisoeq  6251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601
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