Theorem f1fi 7827

Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1fi

Proof of Theorem f1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5786	. . . 4
2		frn 5742	. . . 4
3	1, 2	syl 16	. . 3
4		ssfi 7760	. . 3
5	3, 4	sylan2 474	. 2
6		f1f1orn 5832	. . . 4
7	6	adantl 466	. . 3
8		f1ocnv 5833	. . 3
9		f1ofo 5828	. . 3
10	7, 8, 9	3syl 20	. 2
11		fofi 7826	. 2
12	5, 10, 11	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475  `'ccnv 5003  rancrn 5005  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cfn 7536

This theorem is referenced by:  ixpfi2  7838  fsumvma  23488  edgusgranbfin  24450  fourierdlem51  31940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540