MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1finf1o Unicode version

Theorem f1finf1o 7766
Description: Any injection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1finf1o

Proof of Theorem f1finf1o
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4
2 f1f 5786 . . . . . . 7
32adantl 466 . . . . . 6
4 ffn 5736 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 simpll 753 . . . . . 6
7 frn 5742 . . . . . . . . . 10
83, 7syl 16 . . . . . . . . 9
9 df-pss 3491 . . . . . . . . . 10
109baib 903 . . . . . . . . 9
118, 10syl 16 . . . . . . . 8
12 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
13 relen 7541 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413brrelexi 5045 . . . . . . . . . . . . . 14
156, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1612, 15elmapd 7453 . . . . . . . . . . . 12
173, 16mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
18 f1f1orn 5832 . . . . . . . . . . . 12
1918adantl 466 . . . . . . . . . . 11
20 f1oen3g 7551 . . . . . . . . . . 11
2117, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
22 php3 7723 . . . . . . . . . . . 12
2322ex 434 . . . . . . . . . . 11
2412, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
25 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . 10
2621, 24, 25syl6an 545 . . . . . . . . 9
27 sdomnen 7564 . . . . . . . . 9
2826, 27syl6 33 . . . . . . . 8
2911, 28sylbird 235 . . . . . . 7
3029necon4ad 2677 . . . . . 6
316, 30mpd 15 . . . . 5
32 df-fo 5599 . . . . 5
335, 31, 32sylanbrc 664 . . . 4
34 df-f1o 5600 . . . 4
351, 33, 34sylanbrc 664 . . 3
3635ex 434 . 2
37 f1of1 5820 . 2
3836, 37impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533   csdm 7535   cfn 7536
This theorem is referenced by:  hashfac  12507  crt  14308  eulerthlem2  14312  fidomndrnglem  17955  mdetunilem8  19121  basellem4  23357  lgsqrlem4  23619  lgseisenlem2  23625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator