Theorem f1oiso 6247

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation . Proposition 6.33 of [TakeutiZaring] p. 34. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1oiso

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem f1oiso

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. 2
2		f1of1 5820	. . 3
3		df-br 4453	. . . . 5
4		eleq2 2530	. . . . . . 7
5		fvex 5881	. . . . . . . . 9
6		fvex 5881	. . . . . . . . 9
7		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . 12
8	7	anbi1d 704	. . . . . . . . . . 11
9	8	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10
10	9	2rexbidv 2975	. . . . . . . . 9
11		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . 12
12	11	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11
13	12	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10
14	13	2rexbidv 2975	. . . . . . . . 9
15	5, 6, 10, 14	opelopab 4774	. . . . . . . 8
16		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . 15
17		f1fveq 6170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18		equcom 1794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20	19	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21	20	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	16, 21	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . 14
23	22	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . 13
24		r19.42v 3012	. . . . . . . . . . . . 13
25	23, 24	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12
26	25	rexbidva 2965	. . . . . . . . . . 11
27		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	27	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	ceqsrexv 3233	. . . . . . . . . . . 12
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
32	26, 31	bitrd 253	. . . . . . . . . 10
33		f1fveq 6170	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		equcom 1794	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	33, 34	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
38	37	rexbidva 2965	. . . . . . . . . . 11
39		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	ceqsrexv 3233	. . . . . . . . . . . 12
41	40	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
42	38, 41	bitrd 253	. . . . . . . . . 10
43	32, 42	sylan9bb 699	. . . . . . . . 9
44	43	anandis 830	. . . . . . . 8
45	15, 44	syl5bb 257	. . . . . . 7
46	4, 45	sylan9bbr 700	. . . . . 6
47	46	an32s 804	. . . . 5
48	3, 47	syl5rbb 258	. . . 4
49	48	ralrimivva 2878	. . 3
50	2, 49	sylan 471	. 2
51		df-isom 5602	. 2
52	1, 50, 51	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  f1oiso2  6248  hartogslem1  7988  cnso  13980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602