MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oiso Unicode version

Theorem f1oiso 6247
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation . Proposition 6.33 of [TakeutiZaring] p. 34. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1oiso
Distinct variable groups:   , , , ,   , ,   , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem f1oiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2
2 f1of1 5820 . . 3
3 df-br 4453 . . . . 5
4 eleq2 2530 . . . . . . 7
5 fvex 5881 . . . . . . . . 9
6 fvex 5881 . . . . . . . . 9
7 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12
87anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
98anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
1092rexbidv 2975 . . . . . . . . 9
11 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12
1211anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11
1312anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
14132rexbidv 2975 . . . . . . . . 9
155, 6, 10, 14opelopab 4774 . . . . . . . 8
16 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 f1fveq 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18 equcom 1794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1917, 18syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15
2216, 21syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14
2322rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . 13
24 r19.42v 3012 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12
2625rexbidva 2965 . . . . . . . . . . 11
27 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
2928rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . 13
3029ceqsrexv 3233 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3226, 31bitrd 253 . . . . . . . . . 10
33 f1fveq 6170 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 equcom 1794 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14
3635anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13
3736anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
3837rexbidva 2965 . . . . . . . . . . 11
39 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
4039ceqsrexv 3233 . . . . . . . . . . . 12
4140adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4238, 41bitrd 253 . . . . . . . . . 10
4332, 42sylan9bb 699 . . . . . . . . 9
4443anandis 830 . . . . . . . 8
4515, 44syl5bb 257 . . . . . . 7
464, 45sylan9bbr 700 . . . . . 6
4746an32s 804 . . . . 5
483, 47syl5rbb 258 . . . 4
4948ralrimivva 2878 . . 3
502, 49sylan 471 . 2
51 df-isom 5602 . 2
521, 50, 51sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594
This theorem is referenced by:  f1oiso2  6248  hartogslem1  7988  cnso  13980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602
  Copyright terms: Public domain W3C validator