MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oiso2 Unicode version

Theorem f1oiso2 6248
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1
Assertion
Ref Expression
f1oiso2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3
2 f1ocnvdm 6188 . . . . . . . . 9
32adantrr 716 . . . . . . . 8
433adant3 1016 . . . . . . 7
5 f1ocnvdm 6188 . . . . . . . . . 10
65adantrl 715 . . . . . . . . 9
763adant3 1016 . . . . . . . 8
8 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . 11
98eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
10 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . 11
1110eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
129, 11anim12dan 837 . . . . . . . . 9
13123adant3 1016 . . . . . . . 8
14 simp3 998 . . . . . . . 8
15 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
1615eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
1716anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
18 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
1917, 18anbi12d 710 . . . . . . . . 9
2019rspcev 3210 . . . . . . . 8
217, 13, 14, 20syl12anc 1226 . . . . . . 7
22 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2322eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
2423anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
25 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
2624, 25anbi12d 710 . . . . . . . . 9
2726rexbidv 2968 . . . . . . . 8
2827rspcev 3210 . . . . . . 7
294, 21, 28syl2anc 661 . . . . . 6
30293expib 1199 . . . . 5
31 simp3ll 1067 . . . . . . . . 9
32 simp1 996 . . . . . . . . . 10
33 simp2l 1022 . . . . . . . . . 10
34 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
3534ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
3632, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3731, 36eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
38 simp3lr 1068 . . . . . . . . 9
39 simp2r 1023 . . . . . . . . . 10
4034ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
4132, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4238, 41eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
43 simp3r 1025 . . . . . . . . 9
4431eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
45 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . . . 11
4632, 33, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
4744, 46mpd 15 . . . . . . . . 9
4838eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
49 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . . . 11
5032, 39, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5148, 50mpd 15 . . . . . . . . 9
5243, 47, 513brtr4d 4482 . . . . . . . 8
5337, 42, 52jca31 534 . . . . . . 7
54533exp 1195 . . . . . 6
5554rexlimdvv 2955 . . . . 5
5630, 55impbid 191 . . . 4
5756opabbidv 4515 . . 3
581, 57syl5eq 2510 . 2
59 f1oiso 6247 . 2
6058, 59mpdan 668 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  {copab 4509  `'ccnv 5003  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594
This theorem is referenced by:  fnwelem  6915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602
  Copyright terms: Public domain W3C validator