Theorem f1oiso2 6248

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oiso2.1

Assertion

Ref	Expression
f1oiso2

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem f1oiso2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oiso2.1	. . 3
2		f1ocnvdm 6188	. . . . . . . . 9
3	2	adantrr 716	. . . . . . . 8
4	3	3adant3 1016	. . . . . . 7
5		f1ocnvdm 6188	. . . . . . . . . 10
6	5	adantrl 715	. . . . . . . . 9
7	6	3adant3 1016	. . . . . . . 8
8		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . . . 11
9	8	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10
10		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . . . 11
11	10	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10
12	9, 11	anim12dan 837	. . . . . . . . 9
13	12	3adant3 1016	. . . . . . . 8
14		simp3 998	. . . . . . . 8
15		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
16	15	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11
17	16	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10
18		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
20	19	rspcev 3210	. . . . . . . 8
21	7, 13, 14, 20	syl12anc 1226	. . . . . . 7
22		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
23	22	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11
24	23	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10
25		breq1 4455	. . . . . . . . . 10
26	24, 25	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
27	26	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
28	27	rspcev 3210	. . . . . . 7
29	4, 21, 28	syl2anc 661	. . . . . 6
30	29	3expib 1199	. . . . 5
31		simp3ll 1067	. . . . . . . . 9
32		simp1 996	. . . . . . . . . 10
33		simp2l 1022	. . . . . . . . . 10
34		f1of 5821	. . . . . . . . . . 11
35	34	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . 10
36	32, 33, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
37	31, 36	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
38		simp3lr 1068	. . . . . . . . 9
39		simp2r 1023	. . . . . . . . . 10
40	34	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . 10
41	32, 39, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
42	38, 41	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
43		simp3r 1025	. . . . . . . . 9
44	31	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10
45		f1ocnvfv 6184	. . . . . . . . . . 11
46	32, 33, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
47	44, 46	mpd 15	. . . . . . . . 9
48	38	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10
49		f1ocnvfv 6184	. . . . . . . . . . 11
50	32, 39, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
51	48, 50	mpd 15	. . . . . . . . 9
52	43, 47, 51	3brtr4d 4482	. . . . . . . 8
53	37, 42, 52	jca31 534	. . . . . . 7
54	53	3exp 1195	. . . . . 6
55	54	rexlimdvv 2955	. . . . 5
56	30, 55	impbid 191	. . . 4
57	56	opabbidv 4515	. . 3
58	1, 57	syl5eq 2510	. 2
59		f1oiso 6247	. 2
60	58, 59	mpdan 668	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  {copab 4509  `'ccnv 5003  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  fnwelem  6915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602