MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ompt Unicode version

Theorem f1ompt 6053
Description: Express bijection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt.1
Assertion
Ref Expression
f1ompt
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   ,

Proof of Theorem f1ompt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5736 . . . . 5
2 dff1o4 5829 . . . . . 6
32baib 903 . . . . 5
41, 3syl 16 . . . 4
5 fnres 5702 . . . . . 6
6 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
7 fmpt.1 . . . . . . . . . . 11
8 nfmpt1 4541 . . . . . . . . . . 11
97, 8nfcxfr 2617 . . . . . . . . . 10
10 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
116, 9, 10nfbr 4496 . . . . . . . . 9
12 nfv 1707 . . . . . . . . 9
13 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
14 df-mpt 4512 . . . . . . . . . . . . 13
157, 14eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
1615breqi 4458 . . . . . . . . . . 11
17 df-br 4453 . . . . . . . . . . . 12
18 opabid 4759 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18bitri 249 . . . . . . . . . . 11
2016, 19bitri 249 . . . . . . . . . 10
2113, 20syl6bb 261 . . . . . . . . 9
2211, 12, 21cbveu 2321 . . . . . . . 8
23 vex 3112 . . . . . . . . . 10
24 vex 3112 . . . . . . . . . 10
2523, 24brcnv 5190 . . . . . . . . 9
2625eubii 2306 . . . . . . . 8
27 df-reu 2814 . . . . . . . 8
2822, 26, 273bitr4i 277 . . . . . . 7
2928ralbii 2888 . . . . . 6
305, 29bitri 249 . . . . 5
31 relcnv 5379 . . . . . . 7
32 df-rn 5015 . . . . . . . 8
33 frn 5742 . . . . . . . 8
3432, 33syl5eqssr 3548 . . . . . . 7
35 relssres 5316 . . . . . . 7
3631, 34, 35sylancr 663 . . . . . 6
3736fneq1d 5676 . . . . 5
3830, 37syl5bbr 259 . . . 4
394, 38bitr4d 256 . . 3
4039pm5.32i 637 . 2
41 f1of 5821 . . 3
4241pm4.71ri 633 . 2
437fmpt 6052 . . 3
4443anbi1i 695 . 2
4540, 42, 443bitr4i 277 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  A.wral 2807  E!wreu 2809  C_wss 3475  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592
This theorem is referenced by:  oaf1o  7231  xpf1o  7699  icoshftf1o  11672  fprodser  13756  dfod2  16586  gsummptf1o  16990  cusgrafilem2  24480  numclwlk2lem2f1o  25105  xrmulc1cn  27912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator