Theorem f1oprg 5861

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function, analogous to f1oprswap 5860. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5859	. . . . 5
2	1	ad2antrr 725	. . . 4
3		f1osng 5859	. . . . 5
4	3	ad2antlr 726	. . . 4
5		disjsn2 4091	. . . . 5
6	5	ad2antrl 727	. . . 4
7		disjsn2 4091	. . . . 5
8	7	ad2antll 728	. . . 4
9		f1oun 5840	. . . 4
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1229	. . 3
11		df-pr 4032	. . . . . 6
12	11	eqcomi 2470	. . . . 5
13	12	a1i 11	. . . 4
14		df-pr 4032	. . . . . 6
15	14	eqcomi 2470	. . . . 5
16	15	a1i 11	. . . 4
17		df-pr 4032	. . . . . 6
18	17	eqcomi 2470	. . . . 5
19	18	a1i 11	. . . 4
20	13, 16, 19	f1oeq123d 5818	. . 3
21	10, 20	mpbid 210	. 2
22	21	ex 434	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  -1-1-onto->wf1o 5592

This theorem is referenced by:  s2f1o  12864  f1oun2prg  12865  symg2bas  16423  2trllemE  24555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600