MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oprswap Unicode version

Theorem f1oprswap 5860
Description: A two-element swap is a bijection on a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1oprswap

Proof of Theorem f1oprswap
StepHypRef Expression
1 f1osng 5859 . . . . 5
21anidms 645 . . . 4
32ad2antrr 725 . . 3
4 dfsn2 4042 . . . . . 6
5 opeq2 4218 . . . . . . 7
6 opeq1 4217 . . . . . . 7
75, 6preq12d 4117 . . . . . 6
84, 7syl5eq 2510 . . . . 5
9 dfsn2 4042 . . . . . 6
10 preq2 4110 . . . . . 6
119, 10syl5eq 2510 . . . . 5
128, 11, 11f1oeq123d 5818 . . . 4
1312adantl 466 . . 3
143, 13mpbid 210 . 2
15 simpll 753 . . . 4
16 simplr 755 . . . 4
17 simpr 461 . . . 4
18 fnprg 5647 . . . 4
1915, 16, 16, 15, 17, 18syl221anc 1239 . . 3
20 cnvsng 5499 . . . . . . . . 9
21 cnvsng 5499 . . . . . . . . . 10
2221ancoms 453 . . . . . . . . 9
2320, 22uneq12d 3658 . . . . . . . 8
24 uncom 3647 . . . . . . . 8
2523, 24syl6eq 2514 . . . . . . 7
2625adantr 465 . . . . . 6
27 df-pr 4032 . . . . . . . 8
2827cnveqi 5182 . . . . . . 7
29 cnvun 5416 . . . . . . 7
3028, 29eqtri 2486 . . . . . 6
3126, 30, 273eqtr4g 2523 . . . . 5
3231fneq1d 5676 . . . 4
3319, 32mpbird 232 . . 3
34 dff1o4 5829 . . 3
3519, 33, 34sylanbrc 664 . 2
3614, 35pm2.61dane 2775 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  u.cun 3473  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  `'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592
This theorem is referenced by:  fveqf1o  6205  symg2bas  16423  subfacp1lem2a  28624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600
  Copyright terms: Public domain W3C validator