Theorem f1opw2 6528

Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. This version of f1opw 6529 avoids the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1opw2.1
f1opw2.2
f1opw2.3

Assertion

Ref	Expression
f1opw2

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem f1opw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. 2
2		imassrn 5353	. . . . 5
3		f1opw2.1	. . . . . . 7
4		f1ofo 5828	. . . . . . 7
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6
6		forn 5803	. . . . . 6
7	5, 6	syl 16	. . . . 5
8	2, 7	syl5sseq 3551	. . . 4
9		f1opw2.3	. . . . 5
10		elpwg 4020	. . . . 5
11	9, 10	syl 16	. . . 4
12	8, 11	mpbird 232	. . 3
13	12	adantr 465	. 2
14		imassrn 5353	. . . . 5
15		dfdm4 5200	. . . . . 6
16		f1odm 5825	. . . . . . 7
17	3, 16	syl 16	. . . . . 6
18	15, 17	syl5eqr 2512	. . . . 5
19	14, 18	syl5sseq 3551	. . . 4
20		f1opw2.2	. . . . 5
21		elpwg 4020	. . . . 5
22	20, 21	syl 16	. . . 4
23	19, 22	mpbird 232	. . 3
24	23	adantr 465	. 2
25		elpwi 4021	. . . . . . 7
26	25	adantl 466	. . . . . 6
27		foimacnv 5838	. . . . . 6
28	5, 26, 27	syl2an 477	. . . . 5
29	28	eqcomd 2465	. . . 4
30		imaeq2 5338	. . . . 5
31	30	eqeq2d 2471	. . . 4
32	29, 31	syl5ibrcom 222	. . 3
33		f1of1 5820	. . . . . . 7
34	3, 33	syl 16	. . . . . 6
35		elpwi 4021	. . . . . . 7
36	35	adantr 465	. . . . . 6
37		f1imacnv 5837	. . . . . 6
38	34, 36, 37	syl2an 477	. . . . 5
39	38	eqcomd 2465	. . . 4
40		imaeq2 5338	. . . . 5
41	40	eqeq2d 2471	. . . 4
42	39, 41	syl5ibrcom 222	. . 3
43	32, 42	impbid 191	. 2
44	1, 13, 24, 43	f1o2d 6527	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592

This theorem is referenced by:  f1opw  6529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600