Theorem f1opwfi 7844

Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1opwfi

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem f1opwfi

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. 2
2		imassrn 5353	. . . . . 6
3		f1ofo 5828	. . . . . . 7
4		forn 5803	. . . . . . 7
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6
6	2, 5	syl5sseq 3551	. . . . 5
7	6	adantr 465	. . . 4
8		inss2 3718	. . . . . . 7
9		simpr 461	. . . . . . 7
10	8, 9	sseldi 3501	. . . . . 6
11		f1ofun 5823	. . . . . . . 8
12	11	adantr 465	. . . . . . 7
13		inss1 3717	. . . . . . . . . . 11
14	13	sseli 3499	. . . . . . . . . 10
15		elpwi 4021	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . 9
17	16	adantl 466	. . . . . . . 8
18		f1odm 5825	. . . . . . . . 9
19	18	adantr 465	. . . . . . . 8
20	17, 19	sseqtr4d 3540	. . . . . . 7
21		fores 5809	. . . . . . 7
22	12, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . 6
23		fofi 7826	. . . . . 6
24	10, 22, 23	syl2anc 661	. . . . 5
25		elpwg 4020	. . . . 5
26	24, 25	syl 16	. . . 4
27	7, 26	mpbird 232	. . 3
28	27, 24	elind 3687	. 2
29		imassrn 5353	. . . . . 6
30		dfdm4 5200	. . . . . . 7
31	30, 18	syl5eqr 2512	. . . . . 6
32	29, 31	syl5sseq 3551	. . . . 5
33	32	adantr 465	. . . 4
34		inss2 3718	. . . . . . 7
35		simpr 461	. . . . . . 7
36	34, 35	sseldi 3501	. . . . . 6
37		dff1o3 5827	. . . . . . . . 9
38	37	simprbi 464	. . . . . . . 8
39	38	adantr 465	. . . . . . 7
40		inss1 3717	. . . . . . . . . . 11
41	40	sseli 3499	. . . . . . . . . 10
42	41	adantl 466	. . . . . . . . 9
43		elpwi 4021	. . . . . . . . 9
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . 8
45		f1ocnv 5833	. . . . . . . . . 10
46	45	adantr 465	. . . . . . . . 9
47		f1odm 5825	. . . . . . . . 9
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . 8
49	44, 48	sseqtr4d 3540	. . . . . . 7
50		fores 5809	. . . . . . 7
51	39, 49, 50	syl2anc 661	. . . . . 6
52		fofi 7826	. . . . . 6
53	36, 51, 52	syl2anc 661	. . . . 5
54		elpwg 4020	. . . . 5
55	53, 54	syl 16	. . . 4
56	33, 55	mpbird 232	. . 3
57	56, 53	elind 3687	. 2
58	14, 41	anim12i 566	. . 3
59	43	adantl 466	. . . . . . 7
60		foimacnv 5838	. . . . . . 7
61	3, 59, 60	syl2an 477	. . . . . 6
62	61	eqcomd 2465	. . . . 5
63		imaeq2 5338	. . . . . 6
64	63	eqeq2d 2471	. . . . 5
65	62, 64	syl5ibrcom 222	. . . 4
66		f1of1 5820	. . . . . . 7
67	15	adantr 465	. . . . . . 7
68		f1imacnv 5837	. . . . . . 7
69	66, 67, 68	syl2an 477	. . . . . 6
70	69	eqcomd 2465	. . . . 5
71		imaeq2 5338	. . . . . 6
72	71	eqeq2d 2471	. . . . 5
73	70, 72	syl5ibrcom 222	. . . 4
74	65, 73	impbid 191	. . 3
75	58, 74	sylan2 474	. 2
76	1, 28, 57, 75	f1o2d 6527	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fictb  8646  ackbijnn  13640  tsmsf1o  20647  eulerpartgbij  28311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540