Theorem f1oun2prg 12865

Description: A union of unordered pairs of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oun2prg

Proof of Theorem f1oun2prg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . . 7
2		0z 10900	. . . . . . 7
3	1, 2	jctil 537	. . . . . 6
4	3	ad2antrr 725	. . . . 5
5		simpr 461	. . . . . . 7
6		1z 10919	. . . . . . 7
7	5, 6	jctil 537	. . . . . 6
8	7	ad2antrr 725	. . . . 5
9	4, 8	jca 532	. . . 4
10		id 22	. . . . . . . 8
11	10	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7
12		0ne1 10628	. . . . . . 7
13	11, 12	jctil 537	. . . . . 6
14	13	adantr 465	. . . . 5
15	14	adantl 466	. . . 4
16		f1oprg 5861	. . . 4
17	9, 15, 16	sylc 60	. . 3
18		simpl 457	. . . . . . . 8
19		2nn 10718	. . . . . . . 8
20	18, 19	jctil 537	. . . . . . 7
21	20	adantl 466	. . . . . 6
22		simpr 461	. . . . . . . 8
23		3nn 10719	. . . . . . . 8
24	22, 23	jctil 537	. . . . . . 7
25	24	adantl 466	. . . . . 6
26	21, 25	jca 532	. . . . 5
27	26	adantr 465	. . . 4
28		id 22	. . . . . . . 8
29	28	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7
30		2re 10630	. . . . . . . 8
31		2lt3 10728	. . . . . . . 8
32	30, 31	ltneii 9718	. . . . . . 7
33	29, 32	jctil 537	. . . . . 6
34	33	adantl 466	. . . . 5
35	34	adantl 466	. . . 4
36		f1oprg 5861	. . . 4
37	27, 35, 36	sylc 60	. . 3
38		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
39	38	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . 9
40		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
41	40	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
42	39, 41	anim12i 566	. . . . . . . 8
43	42	adantl 466	. . . . . . 7
44		df-pr 4032	. . . . . . . . . 10
45	44	ineq1i 3695	. . . . . . . . 9
46	45	eqeq1i 2464	. . . . . . . 8
47		undisj1 3878	. . . . . . . 8
48	46, 47	bitr4i 252	. . . . . . 7
49	43, 48	sylibr 212	. . . . . 6
50		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
51	50	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . 9
52		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
53	52	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . 9
54	51, 53	anim12i 566	. . . . . . . 8
55	54	adantl 466	. . . . . . 7
56	44	ineq1i 3695	. . . . . . . . 9
57	56	eqeq1i 2464	. . . . . . . 8
58		undisj1 3878	. . . . . . . 8
59	57, 58	bitr4i 252	. . . . . . 7
60	55, 59	sylibr 212	. . . . . 6
61	49, 60	jca 532	. . . . 5
62		undisj2 3879	. . . . . 6
63		df-pr 4032	. . . . . . . . 9
64	63	eqcomi 2470	. . . . . . . 8
65	64	ineq2i 3696	. . . . . . 7
66	65	eqeq1i 2464	. . . . . 6
67	62, 66	bitri 249	. . . . 5
68	61, 67	sylib 196	. . . 4
69		df-pr 4032	. . . . . . . . 9
70	69	eqcomi 2470	. . . . . . . 8
71	70	ineq1i 3695	. . . . . . 7
72		0ne2 10772	. . . . . . . . . 10
73		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
75		1ne2 10773	. . . . . . . . . 10
76		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
78	74, 77	pm3.2i 455	. . . . . . . 8
79		undisj1 3878	. . . . . . . 8
80	78, 79	mpbi 208	. . . . . . 7
81	71, 80	eqtr3i 2488	. . . . . 6
82	70	ineq1i 3695	. . . . . . 7
83		3ne0 10655	. . . . . . . . . . 11
84	83	necomi 2727	. . . . . . . . . 10
85		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
87		1re 9616	. . . . . . . . . . 11
88		1lt3 10729	. . . . . . . . . . 11
89	87, 88	ltneii 9718	. . . . . . . . . 10
90		disjsn2 4091	. . . . . . . . . 10
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
92	86, 91	pm3.2i 455	. . . . . . . 8
93		undisj1 3878	. . . . . . . 8
94	92, 93	mpbi 208	. . . . . . 7
95	82, 94	eqtr3i 2488	. . . . . 6
96	81, 95	pm3.2i 455	. . . . 5
97		undisj2 3879	. . . . . 6
98		df-pr 4032	. . . . . . . . 9
99	98	eqcomi 2470	. . . . . . . 8
100	99	ineq2i 3696	. . . . . . 7
101	100	eqeq1i 2464	. . . . . 6
102	97, 101	bitri 249	. . . . 5
103	96, 102	mpbi 208	. . . 4
104	68, 103	jctil 537	. . 3
105		f1oun 5840	. . 3
106	17, 37, 104, 105	syl21anc 1227	. 2
107	106	ex 434	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  -1-1-onto->wf1o 5592  0cc0 9513  1c1 9514  cn 10561  2c2 10610  3c3 10611  cz 10889

This theorem is referenced by:  s4f1o  12866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-z 10890