Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f2ndres Unicode version

Theorem f2ndres 6823
 Description: Mapping of a restriction of the (second member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 7-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
f2ndres

Proof of Theorem f2ndres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . . . 8
2 vex 3112 . . . . . . . 8
31, 2op2nda 5498 . . . . . . 7
43eleq1i 2534 . . . . . 6
54biimpri 206 . . . . 5
65adantl 466 . . . 4
76rgen2 2882 . . 3
8 sneq 4039 . . . . . . 7
98rneqd 5235 . . . . . 6
109unieqd 4259 . . . . 5
1110eleq1d 2526 . . . 4
1211ralxp 5149 . . 3
137, 12mpbir 209 . 2
14 df-2nd 6801 . . . . 5
1514reseq1i 5274 . . . 4
16 ssv 3523 . . . . 5
17 resmpt 5328 . . . . 5
1816, 17ax-mp 5 . . . 4
1915, 18eqtri 2486 . . 3
2019fmpt 6052 . 2
2113, 20mpbi 208 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  rancrn 5005  |cres 5006  -->`wf 5589   c2nd 6799 This theorem is referenced by:  fo2ndres  6825  2ndcof  6829  fparlem2  6901  f2ndf  6906  eucalgcvga  14215  2ndfcl  15467  gaid  16337  tx2cn  20111  txkgen  20153  xpinpreima  27888  xpinpreima2  27889  2ndmbfm  28232  filnetlem4  30199  hausgraph  31172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-2nd 6801
 Copyright terms: Public domain W3C validator