Theorem facavg 12379

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0readdcl 10883	. . . . . 6
2	1	rehalfcld 10810	. . . . 5
3		flle 11936	. . . . 5
4	2, 3	syl 16	. . . 4
5		reflcl 11933	. . . . . 6
6	2, 5	syl 16	. . . . 5
7		nn0re 10829	. . . . . 6
8	7	adantr 465	. . . . 5
9		letr 9699	. . . . 5
10	6, 2, 8, 9	syl3anc 1228	. . . 4
11	4, 10	mpand 675	. . 3
12		nn0addcl 10856	. . . . . . 7
13	12	nn0ge0d 10880	. . . . . 6
14		halfnneg2 10795	. . . . . . 7
15	1, 14	syl 16	. . . . . 6
16	13, 15	mpbid 210	. . . . 5
17		flge0nn0 11954	. . . . 5
18	2, 16, 17	syl2anc 661	. . . 4
19		simpl 457	. . . 4
20		facwordi 12367	. . . . 5
21	20	3exp 1195	. . . 4
22	18, 19, 21	sylc 60	. . 3
23		faccl 12363	. . . . . . . 8
24	23	nncnd 10577	. . . . . . 7
25	24	mulid1d 9634	. . . . . 6
26	25	adantr 465	. . . . 5
27		faccl 12363	. . . . . . . 8
28	27	nnred 10576	. . . . . . 7
29	28	adantl 466	. . . . . 6
30	23	nnred 10576	. . . . . . . 8
31	23	nnnn0d 10877	. . . . . . . . 9
32	31	nn0ge0d 10880	. . . . . . . 8
33	30, 32	jca 532	. . . . . . 7
34	33	adantr 465	. . . . . 6
35	27	nnge1d 10603	. . . . . . 7
36	35	adantl 466	. . . . . 6
37		1re 9616	. . . . . . 7
38		lemul2a 10422	. . . . . . 7
39	37, 38	mp3anl1 1318	. . . . . 6
40	29, 34, 36, 39	syl21anc 1227	. . . . 5
41	26, 40	eqbrtrrd 4474	. . . 4
42		faccl 12363	. . . . . . 7
43	18, 42	syl 16	. . . . . 6
44	43	nnred 10576	. . . . 5
45	30	adantr 465	. . . . 5
46		remulcl 9598	. . . . . 6
47	30, 28, 46	syl2an 477	. . . . 5
48		letr 9699	. . . . 5
49	44, 45, 47, 48	syl3anc 1228	. . . 4
50	41, 49	mpan2d 674	. . 3
51	11, 22, 50	3syld 55	. 2
52		nn0re 10829	. . . . . 6
53	52	adantl 466	. . . . 5
54		letr 9699	. . . . 5
55	6, 2, 53, 54	syl3anc 1228	. . . 4
56	4, 55	mpand 675	. . 3
57		simpr 461	. . . 4
58		facwordi 12367	. . . . 5
59	58	3exp 1195	. . . 4
60	18, 57, 59	sylc 60	. . 3
61	27	nncnd 10577	. . . . . . 7
62	61	mulid2d 9635	. . . . . 6
63	62	adantl 466	. . . . 5
64	27	nnnn0d 10877	. . . . . . . . 9
65	64	nn0ge0d 10880	. . . . . . . 8
66	28, 65	jca 532	. . . . . . 7
67	66	adantl 466	. . . . . 6
68	23	nnge1d 10603	. . . . . . 7
69	68	adantr 465	. . . . . 6
70		lemul1a 10421	. . . . . . 7
71	37, 70	mp3anl1 1318	. . . . . 6
72	45, 67, 69, 71	syl21anc 1227	. . . . 5
73	63, 72	eqbrtrrd 4474	. . . 4
74		letr 9699	. . . . 5
75	44, 29, 47, 74	syl3anc 1228	. . . 4
76	73, 75	mpan2d 674	. . 3
77	56, 60, 76	3syld 55	. 2
78		avgle 10805	. . 3
79	7, 52, 78	syl2an 477	. 2
80	51, 77, 79	mpjaod 381	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cle 9650  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cfl 11927  cfa 12353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929  df-seq 12108  df-fac 12354