Theorem faccl 12363

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl

Proof of Theorem faccl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . 3
2	1	eleq1d 2526	. 2
3		fveq2 5871	. . 3
4	3	eleq1d 2526	. 2
5		fveq2 5871	. . 3
6	5	eleq1d 2526	. 2
7		fveq2 5871	. . 3
8	7	eleq1d 2526	. 2
9		fac0 12356	. . 3
10		1nn 10572	. . 3
11	9, 10	eqeltri 2541	. 2
12		facp1 12358	. . . . 5
13	12	adantl 466	. . . 4
14		nn0p1nn 10860	. . . . 5
15		nnmulcl 10584	. . . . 5
16	14, 15	sylan2 474	. . . 4
17	13, 16	eqeltrd 2545	. . 3
18	17	expcom 435	. 2
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 10984	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cn 10561  cn0 10820  cfa 12353

This theorem is referenced by:  facne0  12364  facdiv  12365  facndiv  12366  facwordi  12367  faclbnd  12368  faclbnd2  12369  faclbnd3  12370  faclbnd4lem1  12371  faclbnd5  12376  faclbnd6  12377  facubnd  12378  facavg  12379  bcrpcl  12386  bccmpl  12387  bcn0  12388  bcn1  12391  bcm1k  12393  bcp1n  12394  bcval5  12396  permnn  12404  hashf1  12506  hashfac  12507  eftcl  13809  reeftcl  13810  eftabs  13811  efcllem  13813  ef0lem  13814  ege2le3  13825  efcj  13827  efaddlem  13828  eftlub  13844  effsumlt  13846  eflegeo  13856  ef01bndlem  13919  eirrlem  13937  dvdsfac  14041  prmfac1  14259  pcfac  14418  pcbc  14419  infpnlem1  14428  infpnlem2  14429  prmunb  14432  2expltfac  14577  gexcl3  16607  aaliou3lem1  22738  aaliou3lem2  22739  aaliou3lem3  22740  aaliou3lem8  22741  aaliou3lem5  22743  aaliou3lem6  22744  aaliou3lem7  22745  aaliou3lem9  22746  taylfvallem1  22752  tayl0  22757  taylply2  22763  taylply  22764  dvtaylp  22765  taylthlem2  22769  advlogexp  23036  birthdaylem2  23282  wilthlem3  23344  wilth  23345  chtublem  23486  logfacubnd  23496  logfaclbnd  23497  logfacbnd3  23498  logfacrlim  23499  logexprlim  23500  bcmono  23552  bposlem3  23561  vmadivsum  23667  subfacval2  28631  subfaclim  28632  subfacval3  28633  4bc2eq6  29112  bcfallfac  29166  fallfacfac  29167  faclim2  29173  bcccl  31244  bcc0  31245  bccp1k  31246  binomcxplemwb  31253  faccld  31516  dvnxpaek  31739  wallispi2lem2  31854  stirlinglem2  31857  stirlinglem3  31858  stirlinglem4  31859  stirlinglem13  31868  stirlinglem14  31869  stirlinglem15  31870  stirlingr  31872  pgrple2abl  32958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-fac 12354