MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facdiv Unicode version

Theorem facdiv 12365
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4456 . . . . 5
2 fveq2 5871 . . . . . . 7
32oveq1d 6311 . . . . . 6
43eleq1d 2526 . . . . 5
51, 4imbi12d 320 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 breq2 4456 . . . . 5
8 fveq2 5871 . . . . . . 7
98oveq1d 6311 . . . . . 6
109eleq1d 2526 . . . . 5
117, 10imbi12d 320 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 breq2 4456 . . . . 5
14 fveq2 5871 . . . . . . 7
1514oveq1d 6311 . . . . . 6
1615eleq1d 2526 . . . . 5
1713, 16imbi12d 320 . . . 4
1817imbi2d 316 . . 3
19 breq2 4456 . . . . 5
20 fveq2 5871 . . . . . . 7
2120oveq1d 6311 . . . . . 6
2221eleq1d 2526 . . . . 5
2319, 22imbi12d 320 . . . 4
2423imbi2d 316 . . 3
25 nngt0 10590 . . . . 5
26 0re 9617 . . . . . 6
27 nnre 10568 . . . . . 6
28 ltnle 9685 . . . . . 6
2926, 27, 28sylancr 663 . . . . 5
3025, 29mpbid 210 . . . 4
3130pm2.21d 106 . . 3
32 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . . 13
3332nn0red 10878 . . . . . . . . . . . 12
34 leloe 9692 . . . . . . . . . . . 12
3527, 33, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
36 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . . . . 14
37 nn0leltp1 10947 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
39 nn0p1nn 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 nnmulcl 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4139, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 faccl 12363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4732nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5149, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53 div23 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5446, 48, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5643, 55sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . 14
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
5938, 58sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12
6049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6246, 60, 61divcan4d 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15
6344adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14
65 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
6864, 67syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13
6968a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12
7059, 69jaod 380 . . . . . . . . . . 11
7135, 70sylbid 215 . . . . . . . . . 10
7271ex 434 . . . . . . . . 9
7372com34 83 . . . . . . . 8
7473com12 31 . . . . . . 7
7574imp4d 592 . . . . . 6
76 facp1 12358 . . . . . . . 8
7776oveq1d 6311 . . . . . . 7
7877eleq1d 2526 . . . . . 6
7975, 78sylibrd 234 . . . . 5
8079exp4d 609 . . . 4
8180a2d 26 . . 3
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 10984 . 2
83823imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cfa 12353
This theorem is referenced by:  facndiv  12366  eirrlem  13937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-fac 12354
  Copyright terms: Public domain W3C validator