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Theorem faclbnd 12368
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 oveq1 6303 . . . . . . . 8
32oveq2d 6312 . . . . . . 7
4 fveq2 5871 . . . . . . . 8
54oveq2d 6312 . . . . . . 7
63, 5breq12d 4465 . . . . . 6
76imbi2d 316 . . . . 5
8 oveq1 6303 . . . . . . . 8
98oveq2d 6312 . . . . . . 7
10 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1110oveq2d 6312 . . . . . . 7
129, 11breq12d 4465 . . . . . 6
1312imbi2d 316 . . . . 5
14 oveq1 6303 . . . . . . . 8
1514oveq2d 6312 . . . . . . 7
16 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6312 . . . . . . 7
1815, 17breq12d 4465 . . . . . 6
1918imbi2d 316 . . . . 5
20 oveq1 6303 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6312 . . . . . . 7
22 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2322oveq2d 6312 . . . . . . 7
2421, 23breq12d 4465 . . . . . 6
2524imbi2d 316 . . . . 5
26 nnre 10568 . . . . . . 7
27 nnge1 10587 . . . . . . 7
28 elnnuz 11146 . . . . . . . 8
2928biimpi 194 . . . . . . 7
3026, 27, 29leexp2ad 12342 . . . . . 6
31 0p1e1 10672 . . . . . . . 8
3231oveq2i 6307 . . . . . . 7
3332a1i 11 . . . . . 6
34 fac0 12356 . . . . . . . 8
3534oveq2i 6307 . . . . . . 7
36 nnnn0 10827 . . . . . . . . . 10
3726, 36reexpcld 12327 . . . . . . . . 9
3837recnd 9643 . . . . . . . 8
3938mulid1d 9634 . . . . . . 7
4035, 39syl5eq 2510 . . . . . 6
4130, 33, 403brtr4d 4482 . . . . 5
4226ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14
43 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . . . . 15
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4642, 45reexpcld 12327 . . . . . . . . . . . . 13
4736ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15
4842, 47reexpcld 12327 . . . . . . . . . . . . . 14
49 faccl 12363 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5043, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . 14
5248, 51remulcld 9645 . . . . . . . . . . . . 13
53 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . 14
54 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . . . 14
5543, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
56 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 0re 9617 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6058, 59mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
6142, 57, 60sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14
6242, 45, 61expge0d 12328 . . . . . . . . . . . . 13
63 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
64 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
6546, 52, 42, 55, 62, 61, 63, 64lemul12ad 10513 . . . . . . . . . . . 12
6665anandis 830 . . . . . . . . . . 11
67 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . 13
68 expp1 12173 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 44, 68syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
7069adantr 465 . . . . . . . . . . 11
71 facp1 12358 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
7372oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
7438adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7549nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
77 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 peano2cn 9773 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
8174, 76, 80mulassd 9640 . . . . . . . . . . . . 13
8273, 81eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
8382adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8466, 70, 833brtr4d 4482 . . . . . . . . . 10
8584exp32 605 . . . . . . . . 9
8685com23 78 . . . . . . . 8
87 nn0ltp1le 10946 . . . . . . . . . . 11
8844, 36, 87syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
89 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . . . . 15
9044, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
91 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . . 14
9226, 90, 91syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9437ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
95 faccl 12363 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9644, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . 14
98 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . 14
9937, 97, 98syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
10126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
10227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
103 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
10490ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105104nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
108 eluz 11123 . . . . . . . . . . . . . . 15
109105, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
110103, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
111101, 102, 110leexp2ad 12342 . . . . . . . . . . . 12
11237, 97anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14
113 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116113, 114, 115expge0d 12328 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11736, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
11896nnge1d 10603 . . . . . . . . . . . . . . 15
119117, 118anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14
120 lemulge11 10429 . . . . . . . . . . . . . 14
121112, 119, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
12393, 94, 100, 111, 122letrd 9760 . . . . . . . . . . 11
124123ex 434 . . . . . . . . . 10
12588, 124sylbid 215 . . . . . . . . 9
126125a1dd 46 . . . . . . . 8
12753, 54syl 16 . . . . . . . . 9
128 lelttric 9712 . . . . . . . . 9
12926, 127, 128syl2an 477 . . . . . . . 8
13086, 126, 129mpjaod 381 . . . . . . 7
131130expcom 435 . . . . . 6
132131a2d 26 . . . . 5
1337, 13, 19, 25, 41, 132nn0ind 10984 . . . 4
134133impcom 430 . . 3
135 faccl 12363 . . . . . . . 8
136135nnnn0d 10877 . . . . . . 7
137136nn0ge0d 10880 . . . . . 6
138 nn0p1nn 10860 . . . . . . 7
1391380expd 12326 . . . . . 6
140 0exp0e1 12171 . . . . . . . 8
141140oveq1i 6306 . . . . . . 7
142135nncnd 10577 . . . . . . . 8
143142mulid2d 9635 . . . . . . 7
144141, 143syl5eq 2510 . . . . . 6
145137, 139, 1443brtr4d 4482 . . . . 5
146 oveq1 6303 . . . . . 6
147 oveq12 6305 . . . . . . . 8
148147anidms 645 . . . . . . 7
149148oveq1d 6311 . . . . . 6
150146, 149breq12d 4465 . . . . 5
151145, 150syl5ibr 221 . . . 4
152151imp 429 . . 3
153134, 152jaoian 784 . 2
1541, 153sylanb 472 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cfa 12353
This theorem is referenced by:  faclbnd2  12369  faclbnd3  12370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354
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