Theorem faclbnd 12368

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd

Proof of Theorem faclbnd

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10822	. 2
2		oveq1 6303	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 6312	. . . . . . 7
4		fveq2 5871	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 6312	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4465	. . . . . 6
7	6	imbi2d 316	. . . . 5
8		oveq1 6303	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 6312	. . . . . . 7
10		fveq2 5871	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 6312	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4465	. . . . . 6
13	12	imbi2d 316	. . . . 5
14		oveq1 6303	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6312	. . . . . . 7
16		fveq2 5871	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6312	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4465	. . . . . 6
19	18	imbi2d 316	. . . . 5
20		oveq1 6303	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . 7
22		fveq2 5871	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 6312	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4465	. . . . . 6
25	24	imbi2d 316	. . . . 5
26		nnre 10568	. . . . . . 7
27		nnge1 10587	. . . . . . 7
28		elnnuz 11146	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 194	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 12342	. . . . . 6
31		0p1e1 10672	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 6307	. . . . . . 7
33	32	a1i 11	. . . . . 6
34		fac0 12356	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 6307	. . . . . . 7
36		nnnn0 10827	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 12327	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 9643	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 9634	. . . . . . 7
40	35, 39	syl5eq 2510	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4482	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14
43		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15
44		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
46	42, 45	reexpcld 12327	. . . . . . . . . . . . 13
47	36	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	42, 47	reexpcld 12327	. . . . . . . . . . . . . 14
49		faccl 12363	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	43, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . . 14
52	48, 51	remulcld 9645	. . . . . . . . . . . . 13
53		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . 14
54		peano2re 9774	. . . . . . . . . . . . . 14
55	43, 53, 54	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13
56		nngt0 10590	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15
58		0re 9617	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59		ltle 9694	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	58, 59	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . 15
61	42, 57, 60	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14
62	42, 45, 61	expge0d 12328	. . . . . . . . . . . . 13
63		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13
64		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13
65	46, 52, 42, 55, 62, 61, 63, 64	lemul12ad 10513	. . . . . . . . . . . 12
66	65	anandis 830	. . . . . . . . . . 11
67		nncn 10569	. . . . . . . . . . . . 13
68		expp1 12173	. . . . . . . . . . . . 13
69	67, 44, 68	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
70	69	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
71		facp1 12358	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	71	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
73	72	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13
74	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
75	49	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
77		nn0cn 10830	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 9773	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
81	74, 76, 80	mulassd 9640	. . . . . . . . . . . . 13
82	73, 81	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . 12
83	82	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
84	66, 70, 83	3brtr4d 4482	. . . . . . . . . 10
85	84	exp32 605	. . . . . . . . 9
86	85	com23 78	. . . . . . . 8
87		nn0ltp1le 10946	. . . . . . . . . . 11
88	44, 36, 87	syl2anr 478	. . . . . . . . . 10
89		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 12183	. . . . . . . . . . . . . 14
92	26, 90, 91	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
94	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12
95		faccl 12363	. . . . . . . . . . . . . . . 16
96	44, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
97	96	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . . 14
98		remulcl 9598	. . . . . . . . . . . . . 14
99	37, 97, 98	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
101	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
102	27	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
103		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
104	90	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	104	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . . . . 15
106		nnz 10911	. . . . . . . . . . . . . . . 16
107	106	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15
108		eluz 11123	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	105, 107, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
110	103, 109	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13
111	101, 102, 110	leexp2ad 12342	. . . . . . . . . . . 12
112	37, 97	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . 14
113		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115		nn0ge0 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
116	113, 114, 115	expge0d 12328	. . . . . . . . . . . . . . . 16
117	36, 116	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	96	nnge1d 10603	. . . . . . . . . . . . . . 15
119	117, 118	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . 14
120		lemulge11 10429	. . . . . . . . . . . . . 14
121	112, 119, 120	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
122	121	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
123	93, 94, 100, 111, 122	letrd 9760	. . . . . . . . . . 11
124	123	ex 434	. . . . . . . . . 10
125	88, 124	sylbid 215	. . . . . . . . 9
126	125	a1dd 46	. . . . . . . 8
127	53, 54	syl 16	. . . . . . . . 9
128		lelttric 9712	. . . . . . . . 9
129	26, 127, 128	syl2an 477	. . . . . . . 8
130	86, 126, 129	mpjaod 381	. . . . . . 7
131	130	expcom 435	. . . . . 6
132	131	a2d 26	. . . . 5
133	7, 13, 19, 25, 41, 132	nn0ind 10984	. . . 4
134	133	impcom 430	. . 3
135		faccl 12363	. . . . . . . 8
136	135	nnnn0d 10877	. . . . . . 7
137	136	nn0ge0d 10880	. . . . . 6
138		nn0p1nn 10860	. . . . . . 7
139	138	0expd 12326	. . . . . 6
140		0exp0e1 12171	. . . . . . . 8
141	140	oveq1i 6306	. . . . . . 7
142	135	nncnd 10577	. . . . . . . 8
143	142	mulid2d 9635	. . . . . . 7
144	141, 143	syl5eq 2510	. . . . . 6
145	137, 139, 144	3brtr4d 4482	. . . . 5
146		oveq1 6303	. . . . . 6
147		oveq12 6305	. . . . . . . 8
148	147	anidms 645	. . . . . . 7
149	148	oveq1d 6311	. . . . . 6
150	146, 149	breq12d 4465	. . . . 5
151	145, 150	syl5ibr 221	. . . 4
152	151	imp 429	. . 3
153	134, 152	jaoian 784	. 2
154	1, 153	sylanb 472	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cexp 12166  cfa 12353

This theorem is referenced by:  faclbnd2  12369  faclbnd3  12370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354