MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 Unicode version

Theorem faclbnd3 12370
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 nnre 10568 . . . . . 6
32adantr 465 . . . . 5
4 nnge1 10587 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 nn0z 10912 . . . . . . 7
76adantl 466 . . . . . 6
8 uzid 11124 . . . . . 6
9 peano2uz 11163 . . . . . 6
107, 8, 93syl 20 . . . . 5
113, 5, 10leexp2ad 12342 . . . 4
12 nnnn0 10827 . . . . 5
13 faclbnd 12368 . . . . 5
1412, 13sylan 471 . . . 4
15 nn0re 10829 . . . . . . 7
16 reexpcl 12183 . . . . . . 7
1715, 16sylan 471 . . . . . 6
18 peano2nn0 10861 . . . . . . 7
19 reexpcl 12183 . . . . . . 7
2015, 18, 19syl2an 477 . . . . . 6
21 reexpcl 12183 . . . . . . . 8
2215, 21mpancom 669 . . . . . . 7
23 faccl 12363 . . . . . . . 8
2423nnred 10576 . . . . . . 7
25 remulcl 9598 . . . . . . 7
2622, 24, 25syl2an 477 . . . . . 6
27 letr 9699 . . . . . 6
2817, 20, 26, 27syl3anc 1228 . . . . 5
2912, 28sylan 471 . . . 4
3011, 14, 29mp2and 679 . . 3
31 elnn0 10822 . . . . . . 7
32 0exp 12201 . . . . . . . . 9
33 0le1 10101 . . . . . . . . 9
3432, 33syl6eqbr 4489 . . . . . . . 8
35 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
36 0exp0e1 12171 . . . . . . . . . 10
37 1le1 10202 . . . . . . . . . 10
3836, 37eqbrtri 4471 . . . . . . . . 9
3935, 38syl6eqbr 4489 . . . . . . . 8
4034, 39jaoi 379 . . . . . . 7
4131, 40sylbi 195 . . . . . 6
42 1nn 10572 . . . . . . . 8
43 nnmulcl 10584 . . . . . . . 8
4442, 23, 43sylancr 663 . . . . . . 7
4544nnge1d 10603 . . . . . 6
46 0re 9617 . . . . . . . 8
47 reexpcl 12183 . . . . . . . 8
4846, 47mpan 670 . . . . . . 7
49 1re 9616 . . . . . . . 8
50 remulcl 9598 . . . . . . . 8
5149, 24, 50sylancr 663 . . . . . . 7
52 letr 9699 . . . . . . . 8
5349, 52mp3an2 1312 . . . . . . 7
5448, 51, 53syl2anc 661 . . . . . 6
5541, 45, 54mp2and 679 . . . . 5
5655adantl 466 . . . 4
57 oveq1 6303 . . . . . 6
58 oveq12 6305 . . . . . . . . 9
5958anidms 645 . . . . . . . 8
6059, 36syl6eq 2514 . . . . . . 7
6160oveq1d 6311 . . . . . 6
6257, 61breq12d 4465 . . . . 5
6362adantr 465 . . . 4
6456, 63mpbird 232 . . 3
6530, 64jaoian 784 . 2
661, 65sylanb 472 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cfa 12353
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  12374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354
  Copyright terms: Public domain W3C validator