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Theorem faclbnd4lem1 12371
Description: Lemma for faclbnd4 12375. Prepare the induction step. (Contributed by NM, 20-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
faclbnd4lem1.1
faclbnd4lem1.2
faclbnd4lem1.3
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem1

Proof of Theorem faclbnd4lem1
StepHypRef Expression
1 faclbnd4lem1.1 . . . 4
21nnrei 10570 . . 3
3 1re 9616 . . 3
4 lelttric 9712 . . 3
52, 3, 4mp2an 672 . 2
6 nnge1 10587 . . . . . . 7
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6
82, 3letri3i 9721 . . . . . 6
97, 8mpbiran2 919 . . . . 5
10 0le1 10101 . . . . . . . . . 10
113, 10pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
12 2re 10630 . . . . . . . . . 10
13 faclbnd4lem1.2 . . . . . . . . . . . . 13
14 1nn 10572 . . . . . . . . . . . . 13
15 nn0nnaddcl 10852 . . . . . . . . . . . . 13
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
1716nnnn0i 10828 . . . . . . . . . . 11
18 2nn0 10837 . . . . . . . . . . 11
1917, 18nn0expcli 12192 . . . . . . . . . 10
20 reexpcl 12183 . . . . . . . . . 10
2112, 19, 20mp2an 672 . . . . . . . . 9
2211, 21pm3.2i 455 . . . . . . . 8
23 faclbnd4lem1.3 . . . . . . . . . . 11
2423nn0rei 10831 . . . . . . . . . 10
2523nn0ge0i 10848 . . . . . . . . . 10
2624, 25pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
27 nn0nnaddcl 10852 . . . . . . . . . . . . 13
2823, 16, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
2928nnnn0i 10828 . . . . . . . . . . 11
3023, 29nn0expcli 12192 . . . . . . . . . 10
3130nn0rei 10831 . . . . . . . . 9
3226, 31pm3.2i 455 . . . . . . . 8
3322, 32pm3.2i 455 . . . . . . 7
34 2cn 10631 . . . . . . . . . 10
35 exp0 12170 . . . . . . . . . 10
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9
37 1le2 10774 . . . . . . . . . 10
38 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . 11
3919, 38eleqtri 2543 . . . . . . . . . 10
40 leexp2a 12221 . . . . . . . . . 10
4112, 37, 39, 40mp3an 1324 . . . . . . . . 9
4236, 41eqbrtrri 4473 . . . . . . . 8
43 elnn0 10822 . . . . . . . . . 10
44 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . 13
4544exp1d 12305 . . . . . . . . . . . 12
46 nnge1 10587 . . . . . . . . . . . . 13
47 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15
4828, 47eleqtri 2543 . . . . . . . . . . . . . 14
49 leexp2a 12221 . . . . . . . . . . . . . 14
5024, 48, 49mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . 13
5146, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5245, 51eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . 11
5330nn0ge0i 10848 . . . . . . . . . . . 12
54 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11
5652, 55jaoi 379 . . . . . . . . . 10
5743, 56sylbi 195 . . . . . . . . 9
5823, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8
5942, 58pm3.2i 455 . . . . . . 7
60 lemul12a 10425 . . . . . . 7
6133, 59, 60mp2 9 . . . . . 6
62 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
6316nnzi 10913 . . . . . . . . . 10
64 1exp 12195 . . . . . . . . . 10
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9
6662, 65syl6eq 2514 . . . . . . . 8
67 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
6823nn0cni 10832 . . . . . . . . . 10
69 exp1 12172 . . . . . . . . . 10
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7167, 70syl6eq 2514 . . . . . . . 8
7266, 71oveq12d 6314 . . . . . . 7
73 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
74 fac1 12357 . . . . . . . . . 10
7573, 74syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
7675oveq2d 6312 . . . . . . . 8
7721recni 9629 . . . . . . . . . 10
7830nn0cni 10832 . . . . . . . . . 10
7977, 78mulcli 9622 . . . . . . . . 9
8079mulid1i 9619 . . . . . . . 8
8176, 80syl6eq 2514 . . . . . . 7
8272, 81breq12d 4465 . . . . . 6
8361, 82mpbiri 233 . . . . 5
849, 83sylbir 213 . . . 4
8584adantr 465 . . 3
86 reexpcl 12183 . . . . . . . 8
872, 17, 86mp2an 672 . . . . . . 7
881nnnn0i 10828 . . . . . . . 8
89 reexpcl 12183 . . . . . . . 8
9024, 88, 89mp2an 672 . . . . . . 7
9187, 90remulcli 9631 . . . . . 6
9291a1i 11 . . . . 5
9313, 18nn0expcli 12192 . . . . . . . . 9
94 reexpcl 12183 . . . . . . . . 9
9512, 93, 94mp2an 672 . . . . . . . 8
9618, 13nn0expcli 12192 . . . . . . . . 9
9796nn0rei 10831 . . . . . . . 8
9895, 97remulcli 9631 . . . . . . 7
99 faccl 12363 . . . . . . . . . . 11
10088, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
101100nnnn0i 10828 . . . . . . . . 9
10230, 101nn0mulcli 10859 . . . . . . . 8
103102nn0rei 10831 . . . . . . 7
10498, 103remulcli 9631 . . . . . 6
105104a1i 11 . . . . 5
10621, 103remulcli 9631 . . . . . 6
107106a1i 11 . . . . 5
1081nncni 10571 . . . . . . . . 9
109 expp1 12173 . . . . . . . . 9
110108, 13, 109mp2an 672 . . . . . . . 8
111 expm1t 12194 . . . . . . . . 9
11268, 1, 111mp2an 672 . . . . . . . 8
113110, 112oveq12i 6308 . . . . . . 7
114 reexpcl 12183 . . . . . . . . . 10
1152, 13, 114mp2an 672 . . . . . . . . 9
116115recni 9629 . . . . . . . 8
117 elnnnn0 10864 . . . . . . . . . . . . 13
1181, 117mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12
119118simpri 462 . . . . . . . . . . 11
12023, 119nn0expcli 12192 . . . . . . . . . 10
121120, 23nn0mulcli 10859 . . . . . . . . 9
122121nn0cni 10832 . . . . . . . 8
123116, 108, 122mulassi 9626 . . . . . . 7
124113, 123eqtri 2486 . . . . . 6
12588, 121nn0mulcli 10859 . . . . . . . . . . 11
126125nn0rei 10831 . . . . . . . . . 10
127115, 126remulcli 9631 . . . . . . . . 9
128127a1i 11 . . . . . . . 8
129119nn0rei 10831 . . . . . . . . . . . 12
130 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . 12
131129, 13, 130mp2an 672 . . . . . . . . . . 11
132120nn0rei 10831 . . . . . . . . . . 11
133131, 132remulcli 9631 . . . . . . . . . 10
13496, 88nn0mulcli 10859 . . . . . . . . . . . 12
135134, 23nn0mulcli 10859 . . . . . . . . . . 11
136135nn0rei 10831 . . . . . . . . . 10
137133, 136remulcli 9631 . . . . . . . . 9
138137a1i 11 . . . . . . . 8
13923, 13nn0addcli 10858 . . . . . . . . . . . . 13
140 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . 13
14124, 139, 140mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
14295, 141remulcli 9631 . . . . . . . . . . 11
143 faccl 12363 . . . . . . . . . . . . 13
144119, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
145144nnrei 10570 . . . . . . . . . . 11
146142, 145remulcli 9631 . . . . . . . . . 10
147146, 136remulcli 9631 . . . . . . . . 9
148147a1i 11 . . . . . . . 8
14997, 131remulcli 9631 . . . . . . . . . . . 12
150125nn0ge0i 10848 . . . . . . . . . . . . 13
151126, 150pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . 12
152115, 149, 1513pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . 11
153 nnltp1le 10944 . . . . . . . . . . . . . 14
15414, 1, 153mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
155 df-2 10619 . . . . . . . . . . . . . 14
156155breq1i 4459 . . . . . . . . . . . . 13
157154, 156bitr4i 252 . . . . . . . . . . . 12
158 expubnd 12226 . . . . . . . . . . . . 13
1592, 13, 158mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . 12
160157, 159sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
161 lemul1a 10421 . . . . . . . . . . 11
162152, 160, 161sylancr 663 . . . . . . . . . 10
16396nn0cni 10832 . . . . . . . . . . . 12
164131recni 9629 . . . . . . . . . . . 12
165163, 164, 108, 122mul4i 9798 . . . . . . . . . . 11
166120nn0cni 10832 . . . . . . . . . . . . 13
167164, 166, 68mulassi 9626 . . . . . . . . . . . 12
168167oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11
169134nn0cni 10832 . . . . . . . . . . . 12
170133recni 9629 . . . . . . . . . . . 12
171169, 170, 68mul12i 9796 . . . . . . . . . . 11
172165, 168, 1713eqtr2i 2492 . . . . . . . . . 10
173162, 172syl6breq 4491 . . . . . . . . 9
174173adantr 465 . . . . . . . 8
175135nn0ge0i 10848 . . . . . . . . . . . 12
176136, 175pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11
177133, 146, 1763pm3.2i 1174 . . . . . . . . . 10
178 lemul1a 10421 . . . . . . . . . 10
179177, 178mpan 670 . . . . . . . . 9
180179adantl 466 . . . . . . . 8
181128, 138, 148, 174, 180letrd 9760 . . . . . . 7
182163, 108, 68mul32i 9797 . . . . . . . . 9
183182oveq2i 6307 . . . . . . . 8
184 expp1 12173 . . . . . . . . . . . . . 14
18568, 139, 184mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
18613nn0cni 10832 . . . . . . . . . . . . . . 15
187 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15
18868, 186, 187addassi 9625 . . . . . . . . . . . . . 14
189188oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13
190185, 189eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . . 12
191190oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11
19295recni 9629 . . . . . . . . . . . 12
193141recni 9629 . . . . . . . . . . . 12
194192, 163, 193, 68mul4i 9798 . . . . . . . . . . 11
195191, 194eqtr3i 2488 . . . . . . . . . 10
196 facnn2 12362 . . . . . . . . . . 11
1971, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
198195, 197oveq12i 6308 . . . . . . . . 9
199142recni 9629 . . . . . . . . . 10
200144nncni 10571 . . . . . . . . . 10
201163, 68mulcli 9622 . . . . . . . . . 10
202199, 200, 201, 108mul4i 9798 . . . . . . . . 9
203198, 202eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
20498recni 9629 . . . . . . . . 9
205100nncni 10571 . . . . . . . . 9
206204, 78, 205mulassi 9626 . . . . . . . 8
207183, 203, 2063eqtr2i 2492 . . . . . . 7
208181, 207syl6breq 4491 . . . . . 6
209124, 208syl5eqbr 4485 . . . . 5
210102nn0ge0i 10848 . . . . . . . . 9
211103, 210pm3.2i 455 . . . . . . . 8
21298, 21, 2113pm3.2i 1174 . . . . . . 7
213 expadd 12208 . . . . . . . . 9
21434, 93, 13, 213mp3an 1324 . . . . . . . 8
21519nn0zi 10914 . . . . . . . . . 10
21613nn0rei 10831 . . . . . . . . . . . . 13
21716nnrei 10570 . . . . . . . . . . . . 13
21817nn0ge0i 10848 . . . . . . . . . . . . . 14
219217, 218pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13
220216, 217, 2193pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . 12
221216ltp1i 10474 . . . . . . . . . . . . 13
222216, 217, 221ltleii 9728 . . . . . . . . . . . 12
223 lemul1a 10421 . . . . . . . . . . . 12
224220, 222, 223mp2an 672 . . . . . . . . . . 11
225186sqvali 12247 . . . . . . . . . . . . 13
226186mulid1i 9619 . . . . . . . . . . . . . 14
227226eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13
228225, 227oveq12i 6308 . . . . . . . . . . . 12
229186, 186, 187adddii 9627 . . . . . . . . . . . 12
230228, 229eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . 11
23116nncni 10571 . . . . . . . . . . . 12
232231sqvali 12247 . . . . . . . . . . 11
233224, 230, 2323brtr4i 4480 . . . . . . . . . 10
23493, 13nn0addcli 10858 . . . . . . . . . . . 12
235234nn0zi 10914 . . . . . . . . . . 11
236235eluz1i 11117 . . . . . . . . . 10
237215, 233, 236mpbir2an 920 . . . . . . . . 9
238 leexp2a 12221 . . . . . . . . 9
23912, 37, 237, 238mp3an 1324 . . . . . . . 8
240214, 239eqbrtrri 4473 . . . . . . 7
241 lemul1a 10421 . . . . . . 7
242212, 240, 241mp2an 672 . . . . . 6
243242a1i 11 . . . . 5
24492, 105, 107, 209, 243letrd 9760 . . . 4
24577, 78, 205mulassi 9626 . . . 4
246244, 245syl6breqr 4492 . . 3
24785, 246jaoian 784 . 2
2485, 247mpan 670 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cfa 12353
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem2  12372
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This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354
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