MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem3 Unicode version

Theorem faclbnd4lem3 12373
Description: Lemma for faclbnd4 12375. The case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . . . . 5
2 0exp 12201 . . . . . . . 8
32adantl 466 . . . . . . 7
4 nnnn0 10827 . . . . . . . . 9
5 2nn0 10837 . . . . . . . . . . . 12
6 nn0sqcl 12193 . . . . . . . . . . . 12
7 nn0expcl 12180 . . . . . . . . . . . 12
85, 6, 7sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
98adantl 466 . . . . . . . . . 10
10 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . 11
11 nn0expcl 12180 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syldan 470 . . . . . . . . . 10
139, 12nn0mulcld 10882 . . . . . . . . 9
144, 13sylan2 474 . . . . . . . 8
1514nn0ge0d 10880 . . . . . . 7
163, 15eqbrtrd 4472 . . . . . 6
17 1nn 10572 . . . . . . . . . 10
18 elnn0 10822 . . . . . . . . . . 11
19 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . . . . 14
20 0nn0 10835 . . . . . . . . . . . . . 14
21 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . . . . 14
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
23 nnexpcl 12179 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 00id 9776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
2925, 28oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
30 0exp0e1 12171 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 30syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13
3231, 17syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12
3324, 32jaoi 379 . . . . . . . . . . 11
3418, 33sylbi 195 . . . . . . . . . 10
35 nnmulcl 10584 . . . . . . . . . 10
3617, 34, 35sylancr 663 . . . . . . . . 9
3736nnge1d 10603 . . . . . . . 8
3837adantr 465 . . . . . . 7
39 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
4039, 30syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
41 sq0i 12260 . . . . . . . . . . . 12
4241oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
43 2cn 10631 . . . . . . . . . . . 12
44 exp0 12170 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
4642, 45syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
47 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
4946, 48oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
5040, 49breq12d 4465 . . . . . . . 8
5150adantl 466 . . . . . . 7
5238, 51mpbird 232 . . . . . 6
5316, 52jaodan 785 . . . . 5
541, 53sylan2b 475 . . . 4
55 nn0cn 10830 . . . . . . 7
5655exp0d 12304 . . . . . 6
5756oveq2d 6312 . . . . 5
58 nn0expcl 12180 . . . . . . . 8
5920, 58mpan 670 . . . . . . 7
6059nn0cnd 10879 . . . . . 6
6160mulid1d 9634 . . . . 5
6257, 61sylan9eq 2518 . . . 4
6313nn0cnd 10879 . . . . 5
6463mulid1d 9634 . . . 4
6554, 62, 643brtr4d 4482 . . 3
6665adantr 465 . 2
67 oveq1 6303 . . . . 5
68 oveq2 6304 . . . . 5
6967, 68oveq12d 6314 . . . 4
70 fveq2 5871 . . . . . 6
71 fac0 12356 . . . . . 6
7270, 71syl6eq 2514 . . . . 5
7372oveq2d 6312 . . . 4
7469, 73breq12d 4465 . . 3
7574adantl 466 . 2
7666, 75mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cexp 12166   cfa 12353
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  12374  faclbnd4  12375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354
  Copyright terms: Public domain W3C validator