MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd6 Unicode version

Theorem faclbnd6 12377
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
21oveq2d 6312 . . . . 5
3 oveq2 6304 . . . . . 6
43fveq2d 5875 . . . . 5
52, 4breq12d 4465 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 oveq2 6304 . . . . . 6
87oveq2d 6312 . . . . 5
9 oveq2 6304 . . . . . 6
109fveq2d 5875 . . . . 5
118, 10breq12d 4465 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 oveq2 6304 . . . . . 6
1413oveq2d 6312 . . . . 5
15 oveq2 6304 . . . . . 6
1615fveq2d 5875 . . . . 5
1714, 16breq12d 4465 . . . 4
1817imbi2d 316 . . 3
19 oveq2 6304 . . . . . 6
2019oveq2d 6312 . . . . 5
21 oveq2 6304 . . . . . 6
2221fveq2d 5875 . . . . 5
2320, 22breq12d 4465 . . . 4
2423imbi2d 316 . . 3
25 faccl 12363 . . . . . 6
2625nnred 10576 . . . . 5
2726leidd 10144 . . . 4
28 nn0cn 10830 . . . . . . . 8
29 peano2cn 9773 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
3130exp0d 12304 . . . . . 6
3231oveq2d 6312 . . . . 5
3325nncnd 10577 . . . . . 6
3433mulid1d 9634 . . . . 5
3532, 34eqtrd 2498 . . . 4
3628addid1d 9801 . . . . 5
3736fveq2d 5875 . . . 4
3827, 35, 373brtr4d 4482 . . 3
3926adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
40 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . . . 14
4140nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . 13
42 reexpcl 12183 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
4439, 43remulcld 9645 . . . . . . . . . . 11
45 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . . 14
4725, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4941adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
5140nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . . 14
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 50, 52expge0d 12328 . . . . . . . . . . . 12
5439, 43, 48, 53mulge0d 10154 . . . . . . . . . . 11
5544, 54jca 532 . . . . . . . . . 10
56 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . . . 12
57 faccl 12363 . . . . . . . . . . . 12
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11
5958nnred 10576 . . . . . . . . . 10
60 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . 12
61 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . . 13
6261nn0red 10878 . . . . . . . . . . . 12
63 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . 12
6460, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
6549, 52, 64jca31 534 . . . . . . . . . 10
6655, 59, 65jca31 534 . . . . . . . . 9
6766adantr 465 . . . . . . . 8
68 simpr 461 . . . . . . . . 9
6936adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
70 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
72 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
7460adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 0re 9617 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 leadd2 10046 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7775, 76mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15
7873, 74, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
7971, 78mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
8069, 79eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . . 12
8156nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . 13
82 1re 9616 . . . . . . . . . . . . . 14
83 leadd1 10045 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . 13
8574, 81, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
8680, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
87 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . 12
88 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
89 addass 9600 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . 12
9128, 87, 90syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
9286, 91breqtrd 4476 . . . . . . . . . 10
9392adantr 465 . . . . . . . . 9
9468, 93jca 532 . . . . . . . 8
95 lemul12a 10425 . . . . . . . 8
9667, 94, 95sylc 60 . . . . . . 7
97 expp1 12173 . . . . . . . . . . 11
9830, 97sylan 471 . . . . . . . . . 10
9998oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
10033adantr 465 . . . . . . . . . 10
101 expcl 12184 . . . . . . . . . . 11
10230, 101sylan 471 . . . . . . . . . 10
10330adantr 465 . . . . . . . . . 10
104100, 102, 103mulassd 9640 . . . . . . . . 9
10599, 104eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
106105adantr 465 . . . . . . 7
107 facp1 12358 . . . . . . . . . 10
10856, 107syl 16 . . . . . . . . 9
10991fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
11091oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
111108, 109, 1103eqtr3d 2506 . . . . . . . 8
112111adantr 465 . . . . . . 7
11396, 106, 1123brtr4d 4482 . . . . . 6
114113ex 434 . . . . 5
115114expcom 435 . . . 4
116115a2d 26 . . 3
1176, 12, 18, 24, 38, 116nn0ind 10984 . 2
118117impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cexp 12166   cfa 12353
This theorem is referenced by:  eftlub  13844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354
  Copyright terms: Public domain W3C validator