Theorem faclbnd6 12377

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . 6
2	1	oveq2d 6312	. . . . 5
3		oveq2 6304	. . . . . 6
4	3	fveq2d 5875	. . . . 5
5	2, 4	breq12d 4465	. . . 4
6	5	imbi2d 316	. . 3
7		oveq2 6304	. . . . . 6
8	7	oveq2d 6312	. . . . 5
9		oveq2 6304	. . . . . 6
10	9	fveq2d 5875	. . . . 5
11	8, 10	breq12d 4465	. . . 4
12	11	imbi2d 316	. . 3
13		oveq2 6304	. . . . . 6
14	13	oveq2d 6312	. . . . 5
15		oveq2 6304	. . . . . 6
16	15	fveq2d 5875	. . . . 5
17	14, 16	breq12d 4465	. . . 4
18	17	imbi2d 316	. . 3
19		oveq2 6304	. . . . . 6
20	19	oveq2d 6312	. . . . 5
21		oveq2 6304	. . . . . 6
22	21	fveq2d 5875	. . . . 5
23	20, 22	breq12d 4465	. . . 4
24	23	imbi2d 316	. . 3
25		faccl 12363	. . . . . 6
26	25	nnred 10576	. . . . 5
27	26	leidd 10144	. . . 4
28		nn0cn 10830	. . . . . . . 8
29		peano2cn 9773	. . . . . . . 8
30	28, 29	syl 16	. . . . . . 7
31	30	exp0d 12304	. . . . . 6
32	31	oveq2d 6312	. . . . 5
33	25	nncnd 10577	. . . . . 6
34	33	mulid1d 9634	. . . . 5
35	32, 34	eqtrd 2498	. . . 4
36	28	addid1d 9801	. . . . 5
37	36	fveq2d 5875	. . . 4
38	27, 35, 37	3brtr4d 4482	. . 3
39	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
40		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . . 13
42		reexpcl 12183	. . . . . . . . . . . . 13
43	41, 42	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
44	39, 43	remulcld 9645	. . . . . . . . . . 11
45		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	45	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . . . . . . 14
47	25, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
49	41	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
50		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
51	40	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
53	49, 50, 52	expge0d 12328	. . . . . . . . . . . 12
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 10154	. . . . . . . . . . 11
55	44, 54	jca 532	. . . . . . . . . 10
56		nn0addcl 10856	. . . . . . . . . . . 12
57		faccl 12363	. . . . . . . . . . . 12
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . 11
59	58	nnred 10576	. . . . . . . . . 10
60		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . 12
61		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . . . . 13
62	61	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . 12
63		readdcl 9596	. . . . . . . . . . . 12
64	60, 62, 63	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
65	49, 52, 64	jca31 534	. . . . . . . . . 10
66	55, 59, 65	jca31 534	. . . . . . . . 9
67	66	adantr 465	. . . . . . . 8
68		simpr 461	. . . . . . . . 9
69	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
70		nn0ge0 10846	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
72		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	72	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
75		0re 9617	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76		leadd2 10046	. . . . . . . . . . . . . . . 16
77	75, 76	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . 15
78	73, 74, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
79	71, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13
80	69, 79	eqbrtrrd 4474	. . . . . . . . . . . 12
81	56	nn0red 10878	. . . . . . . . . . . . 13
82		1re 9616	. . . . . . . . . . . . . 14
83		leadd1 10045	. . . . . . . . . . . . . 14
84	82, 83	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . 13
85	74, 81, 84	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
86	80, 85	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
87		nn0cn 10830	. . . . . . . . . . . 12
88		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . . 13
89		addass 9600	. . . . . . . . . . . . 13
90	88, 89	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . 12
91	28, 87, 90	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
92	86, 91	breqtrd 4476	. . . . . . . . . 10
93	92	adantr 465	. . . . . . . . 9
94	68, 93	jca 532	. . . . . . . 8
95		lemul12a 10425	. . . . . . . 8
96	67, 94, 95	sylc 60	. . . . . . 7
97		expp1 12173	. . . . . . . . . . 11
98	30, 97	sylan 471	. . . . . . . . . 10
99	98	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
100	33	adantr 465	. . . . . . . . . 10
101		expcl 12184	. . . . . . . . . . 11
102	30, 101	sylan 471	. . . . . . . . . 10
103	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10
104	100, 102, 103	mulassd 9640	. . . . . . . . 9
105	99, 104	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8
106	105	adantr 465	. . . . . . 7
107		facp1 12358	. . . . . . . . . 10
108	56, 107	syl 16	. . . . . . . . 9
109	91	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
110	91	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2506	. . . . . . . 8
112	111	adantr 465	. . . . . . 7
113	96, 106, 112	3brtr4d 4482	. . . . . 6
114	113	ex 434	. . . . 5
115	114	expcom 435	. . . 4
116	115	a2d 26	. . 3
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 10984	. 2
118	117	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cle 9650  cn 10561  cn0 10820  cexp 12166  cfa 12353

This theorem is referenced by:  eftlub  13844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354