Theorem fcof1 6190

Description: An application is injective if a retraction exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcof1

Proof of Theorem fcof1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. 2
2		simprr 757	. . . . . . . 8
3	2	fveq2d 5875	. . . . . . 7
4		simpll 753	. . . . . . . 8
5		simprll 763	. . . . . . . 8
6		fvco3 5950	. . . . . . . 8
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. . . . . . 7
8		simprlr 764	. . . . . . . 8
9		fvco3 5950	. . . . . . . 8
10	4, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . 7
11	3, 7, 10	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
12		simplr 755	. . . . . . 7
13	12	fveq1d 5873	. . . . . 6
14	12	fveq1d 5873	. . . . . 6
15	11, 13, 14	3eqtr3d 2506	. . . . 5
16		fvresi 6097	. . . . . 6
17	5, 16	syl 16	. . . . 5
18		fvresi 6097	. . . . . 6
19	8, 18	syl 16	. . . . 5
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2506	. . . 4
21	20	expr 615	. . 3
22	21	ralrimivva 2878	. 2
23		dff13 6166	. 2
24	1, 22, 23	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cid 4795  |`cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  fcof1od  6197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601