MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcof1 Unicode version

Theorem fcof1 6068
Description: An application is injective if a retraction exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
fcof1

Proof of Theorem fcof1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . 2
2 simprr 735 . . . . . . . 8
32fveq2d 5779 . . . . . . 7
4 simpll 732 . . . . . . . 8
5 simprll 740 . . . . . . . 8
6 fvco3 5848 . . . . . . . 8
74, 5, 6syl2anc 644 . . . . . . 7
8 simprlr 741 . . . . . . . 8
9 fvco3 5848 . . . . . . . 8
104, 8, 9syl2anc 644 . . . . . . 7
113, 7, 103eqtr4d 2485 . . . . . 6
12 simplr 733 . . . . . . 7
1312fveq1d 5777 . . . . . 6
1412fveq1d 5777 . . . . . 6
1511, 13, 143eqtr3d 2483 . . . . 5
16 fvresi 5972 . . . . . 6
175, 16syl 16 . . . . 5
18 fvresi 5972 . . . . . 6
198, 18syl 16 . . . . 5
2015, 17, 193eqtr3d 2483 . . . 4
2120expr 600 . . 3
2221ralrimivva 2805 . 2
23 dff13 6052 . 2
241, 22, 23sylanbrc 647 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712   cid 4534  |`cres 4921  o.ccom 4923  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  `cfv 5501
This theorem is referenced by:  fcof1o  6074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fv 5509
  Copyright terms: Public domain W3C validator