MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcof1o Unicode version

Theorem fcof1o 6074
Description: Show that two functions are inverse to each other by computing their compositions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcof1o

Proof of Theorem fcof1o
StepHypRef Expression
1 fcof1 6068 . . . 4
21ad2ant2rl 731 . . 3
3 fcofo 6069 . . . . 5
433expa 1154 . . . 4
54adantrr 699 . . 3
6 df-f1o 5508 . . 3
72, 5, 6sylanbrc 647 . 2
8 simprl 734 . . . 4
98coeq2d 5077 . . 3
10 coass 5434 . . . 4
11 f1ococnv1 5751 . . . . . . 7
127, 11syl 16 . . . . . 6
1312coeq1d 5076 . . . . 5
14 fcoi2 5665 . . . . . 6
1514ad2antlr 709 . . . . 5
1613, 15eqtrd 2475 . . . 4
1710, 16syl5eqr 2489 . . 3
18 f1ocnv 5734 . . . 4
19 f1of 5721 . . . 4
20 fcoi1 5664 . . . 4
217, 18, 19, 204syl 20 . . 3
229, 17, 213eqtr3rd 2484 . 2
237, 22jca 520 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  =wceq 1654   cid 4534  `'ccnv 4918  |`cres 4921  o.ccom 4923  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  -onto->wfo 5499  -1-1-onto->wf1o 5500
This theorem is referenced by:  setcinv  14296  catciso  14313  yonedainv  14429  txswaphmeo  17888  qtophmeo  17900  pmtrff1o  27560  pmtrfcnv  27561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509
  Copyright terms: Public domain W3C validator