Theorem fcof1oinvd 6196

Description: Show that a function is the inverse of a bijective function if their composition is the identity function. Formerly part of proof of fcof1o 6199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcof1oinvd.f
fcof1oinvd.g
fcof1oinvd.b

Assertion

Ref	Expression
fcof1oinvd

Proof of Theorem fcof1oinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcof1oinvd.b	. . 3
2	1	coeq2d 5170	. 2
3		coass 5531	. . 3
4		fcof1oinvd.f	. . . . . 6
5		f1ococnv1 5849	. . . . . 6
6	4, 5	syl 16	. . . . 5
7	6	coeq1d 5169	. . . 4
8		fcof1oinvd.g	. . . . 5
9		fcoi2 5765	. . . . 5
10	8, 9	syl 16	. . . 4
11	7, 10	eqtrd 2498	. . 3
12	3, 11	syl5eqr 2512	. 2
13		f1ocnv 5833	. . . . 5
14	4, 13	syl 16	. . . 4
15		f1of 5821	. . . 4
16	14, 15	syl 16	. . 3
17		fcoi1 5764	. . 3
18	16, 17	syl 16	. 2
19	2, 12, 18	3eqtr3rd 2507	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  cid 4795  `'ccnv 5003  |`cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592

This theorem is referenced by:  2fcoidinvd  6198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600