Theorem fcofo 5966

Description: An application is surjective if a section exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 17-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcofo

Proof of Theorem fcofo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 962	. 2
2		ffvelrn 5830	. . . . 5
3	2	3ad2antl2 1125	. . . 4
4		simpl3 967	. . . . . 6
5	4	fveq1d 5687	. . . . 5
6		fvco3 5761	. . . . . 6
7	6	3ad2antl2 1125	. . . . 5
8		fvresi 5889	. . . . . 6
9	8	adantl 454	. . . . 5
10	5, 7, 9	3eqtr3rd 2522	. . . 4
11		fveq2 5685	. . . . . 6
12	11	eqeq2d 2492	. . . . 5
13	12	rspcev 3102	. . . 4
14	3, 10, 13	syl2anc 644	. . 3
15	14	ralrimiva 2835	. 2
16		dffo3 5846	. 2
17	1, 15, 16	sylanbrc 647	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  /\w3a 939  =wceq 1662  e.wcel 1724  A.wral 2751  E.wrex 2752  cid 4634  |`cres 4846  o.ccom 4848  -->wf 5413  -onto->wfo 5415  `cfv 5417

This theorem is referenced by:  fcof1o  5971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3008  df-sbc 3213  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-nul 3661  df-if 3813  df-sn 3900  df-pr 3901  df-op 3903  df-uni 4102  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-id 4639  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fo 5423  df-fv 5425