Theorem fcofo 6069

Description: An application is surjective if a section exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 17-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcofo

Proof of Theorem fcofo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 958	. 2
2		ffvelrn 5916	. . . . 5
3	2	3ad2antl2 1121	. . . 4
4		simpl3 963	. . . . . 6
5	4	fveq1d 5777	. . . . 5
6		fvco3 5848	. . . . . 6
7	6	3ad2antl2 1121	. . . . 5
8		fvresi 5972	. . . . . 6
9	8	adantl 454	. . . . 5
10	5, 7, 9	3eqtr3rd 2484	. . . 4
11		fveq2 5775	. . . . . 6
12	11	eqeq2d 2454	. . . . 5
13	12	rspcev 3061	. . . 4
14	3, 10, 13	syl2anc 644	. . 3
15	14	ralrimiva 2796	. 2
16		dffo3 5932	. 2
17	1, 15, 16	sylanbrc 647	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  E.wrex 2713  cid 4534  |`cres 4921  o.ccom 4923  -->wf 5497  -onto->wfo 5499  `cfv 5501

This theorem is referenced by:  fcof1o  6074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-fo 5507  df-fv 5509