Theorem fcofo 6191

Description: An application is surjective if a section exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 17-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcofo

Proof of Theorem fcofo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. 2
2		ffvelrn 6029	. . . . 5
3	2	3ad2antl2 1159	. . . 4
4		simpl3 1001	. . . . . 6
5	4	fveq1d 5873	. . . . 5
6		fvco3 5950	. . . . . 6
7	6	3ad2antl2 1159	. . . . 5
8		fvresi 6097	. . . . . 6
9	8	adantl 466	. . . . 5
10	5, 7, 9	3eqtr3rd 2507	. . . 4
11		fveq2 5871	. . . . . 6
12	11	eqeq2d 2471	. . . . 5
13	12	rspcev 3210	. . . 4
14	3, 10, 13	syl2anc 661	. . 3
15	14	ralrimiva 2871	. 2
16		dffo3 6046	. 2
17	1, 15, 16	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cid 4795  |`cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  fcof1od  6197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fo 5599  df-fv 5601