Theorem fcofo 6002

Description: An application is surjective if a section exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 17-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcofo

Proof of Theorem fcofo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 962	. 2
2		ffvelrn 5857	. . . . 5
3	2	3ad2antl2 1125	. . . 4
4		simpl3 967	. . . . . 6
5	4	fveq1d 5710	. . . . 5
6		fvco3 5784	. . . . . 6
7	6	3ad2antl2 1125	. . . . 5
8		fvresi 5919	. . . . . 6
9	8	adantl 454	. . . . 5
10	5, 7, 9	3eqtr3rd 2530	. . . 4
11		fveq2 5708	. . . . . 6
12	11	eqeq2d 2500	. . . . 5
13	12	rspcev 3113	. . . 4
14	3, 10, 13	syl2anc 644	. . 3
15	14	ralrimiva 2843	. 2
16		dffo3 5874	. 2
17	1, 15, 16	sylanbrc 647	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  /\w3a 939  =wceq 1670  e.wcel 1732  A.wral 2759  E.wrex 2760  cid 4652  |`cres 4864  o.ccom 4866  -->wf 5434  -onto->wfo 5436  `cfv 5438

This theorem is referenced by:  fcof1o  6007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-ral 2764  df-rex 2765  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-nul 3674  df-if 3826  df-sn 3915  df-pr 3916  df-op 3918  df-uni 4118  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-id 4657  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-fo 5444  df-fv 5446